江苏省南京市第九中学高三上学期调研测试（数学）

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1、江苏省南京市第九中学高三上学期调研测试（数学）一,填空题1．已知集合，则。2．已知向量若，则＝。3．在等差数列4．已知的值为5.的最小正周期是6.（安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于7.（全国卷Ⅰ文）不等式的解集为8.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为9．函数在[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为2。10．已知是定义在实数集R上的偶函数，且在上单调递增。则不等式上的解集为11．已知数列，则数列的前100项的和是12．存在的取值范围是13.函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是14．若，则函数的最大值为-8。二、解答题（本大题共6小题，共

2、计90分，请给出必要的文字说明与解答过程）15、（本题满分12分）已知是三角形三内角，向量，且．（1）求角；（2）若，求的值。15、解（1）∵∴即,，∵∴∴．（2）由题知，ABDCP16.如图，梯形中，，是上的一个动点，(Ⅰ)当最小时，求的值。(Ⅱ)当时，求的值。16、【解析】：(Ⅰ)以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。ABDCPO则,令有所以，----3分当时，最小此时，在中，,在中，所以----7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，----10分整理得：此时----14分17．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘

3、匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解（I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直

4、线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QE·sin=所以船会进入警戒水域.18、（本题满分12分）xy开口向下的抛物线在第一象限内与直线相切．此抛物线与轴所围成的图形的面积记为．（1）求与的关系式，并用表示的表达式；（2）求使达到最大值的、值，并求18、解：（1）

5、依题设可知抛物线开口向下，且，直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．把代入得：（2）；令S(b)=0；在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S(b)＞0；当b＞3时，S(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。19、（本题满分12分）已知函数,数列满足．(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)记,试比较与1的大小.19、解：（Ⅰ）由已知得，，∴，即．∴数列是首项,公差的等差数列.(Ⅱ)由（Ⅰ）知,∴，∴，∴．∴，∴．本小题满分16分

6、）已知函数，其中.（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.）解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．5分（Ⅱ）解：．当时，显然（）．这时在，上内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数．10分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．16分