普通高等学校春季招生考试数学试卷

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1、普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题（本大题满分048分）1.计算：.2.方程的解.3.函数的反函数.4.不等式的解集是.5.已知圆和直线.若圆与直线没有公共点，则的取值范围是.6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.7.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.8.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为.9.在△中，已知，三角形面积为12，则.10.若向量的夹角为，，则.11.已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为.12.同学们都知道

2、，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分016分）13．抛物线的焦点坐标为（）A．.B．.C．.D．.14.若，则下列不等式成立的是（）A．.B．.C．.D．.15.若，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件.B．必要不充分条件.C．充要条件.D．既不充分也不必要条件.16.若集合，则A∩B等于（）A．.B．.C．.D．.三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.(

3、本题满分12分)在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.(本题满分12分)已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点同时跟踪航天器.

4、（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.第3小题满分6分.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系

5、式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1..2.2.3..4..5..6..7.48.8..9..10.2.11.4.12.和二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题号13141516代号BCAB三．（第17至22题）17.[解法一]连接，为异面直线与所成的角.……4分连接，在△中，，……6分则.……10分异面直线与所

6、成角的大小为.……12分[解法二]以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.……2分则，得.……6分设与的夹角为，则，……10分与的夹角大小为，即异面直线与所成角的大小为.……12分18.[解法一]，……4分.……8分若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是.……12分[解法二]设，得，……4分以下解法同[解法一].19.[解]（1），……2分……4分.……8分（2），……10分，，，函数的值域为.……14分[解]（1）设曲线方程为，由题意可知，..……4分曲线方程为.……6分（2）设变轨点为，根据题意可知得，或（不合题意，舍去）..…

7、…9分得或（不合题意，舍去）.点的坐标为，……11分.答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.……14分21.[解]（1）……4分（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.……8分由于.……10分（3）[解法一]当时，.，……12分.又，①当，即时，取，.，则.……14分②当，即时，取，＝.由①、②可知，当时，，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.……