导数在实际生活中的应用

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1、导数在实际生活中的应用导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以

2、应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。1．导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。函数在点处可导，则是是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。2．导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用

3、。例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？思路：设箱底边长为cm，则箱高cm，得箱子容积是箱底边长的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？第5页（共5页）变式：从一块边长为的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：答案：。评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去

4、的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。可见，导数的引入，大大拓展了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。例2：已知某商品生产成本与常量q的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式。求产量q为何值时，利润L最大。分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格。由此可得出利润L与产

5、量q的函数关系式，再用导数求最大利润。第5页（共5页）解：收入利润令，即求得唯一的极值点因为L只有一个极值点，所以它是最大值。答：产量为84时，利润L最大。点评：上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识，运用数学知识解决利润问题，在实际生活中应用也很广泛。例3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。解：不失一般性，设

6、烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8.并设AC=∴CB=，于是点C的烟尘浓度为：，其中为比例系数。则第5页（共5页）令，有，即。解得在（0，20）内惟一驻点。由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处km处的烟尘浓度最小。例4：统计表明，某种型号的汽车的匀速行驶中每小时的耗油量为（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：。已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度

7、匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（1）当=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油为依题意:.令，得。第5页（共5页）当时，，是减函数；当时，，是增函数。当时，取到极小值。因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。点评：以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数座位强

8、有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。总之，导数座位一种工具，在解决显示生活中的很多问题时使用非常方便，尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题，这些问题转化为求函数的最值问题，运用导数求解，很大程度上简化了我们的过程，缩短了步骤，起着非常重要的作用。还可以解析几何相联系，可以在知识网络交