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1、无穷小的概念定义极限为零的变量称为无穷小.例:是时的无穷小;例:是时的无穷小;例:是时的无穷小;无穷小的概念例:下列函数是过程的无穷小.例:下列函数是过程的无穷小.无穷小的概念(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆.(2)0是可以作为无穷小的唯一常数.(3)无穷小是相对于x的某个变化过程而言的.例:是时的无穷小;不是时的无穷小;注意:例:判断在相应过程中下列函数哪些是无穷小.无穷小的概念无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例:是无穷小,
2、但x个之和为1,不是无穷小.时,例:性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例:例:求无穷小的运算性质例:思考：例:求性质3性质4有限个无穷小的乘积也是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.例:例:无穷小的运算性质无穷小与函数极限的关系定理1的充分必要条件是其中例:函数,满足的充分必要条件是:无穷小与函数极限的关系证明:以令为例,对于的情形,可以类似地证明.必要性:设则且充分性:设则无穷大的概念定义2如果在(或的绝对值无限增大,则称函数为当(或例:是时的无穷大.)时,函数)时的无穷大.无穷大的概念例
3、:是时的负无穷大.是时的正无穷大.例:注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;2.切勿将认为极限存在;3.无穷大实质是极限发散的函数.无穷大的概念例:是时的无穷大;时的无穷小.无穷小与无穷大的关系定理2在自变量变化的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小倒数为无穷大.例:例:无穷小比较的概念两个无穷小和、差、积仍是无穷小.但两个无穷小的商,却会出现不同的情况.例:当时,x,x2,sinx都是无穷小,而无穷小的商反映了各无穷小趋于0的快慢程度:x2比x快些,x比x2慢些,sinx与x
4、大致相同.无穷小比较的概念x2比x快些,x比x2慢些,sinx与x大致相同.无穷小比较的概念定义3设是自变量变化的同一过程中的两个无穷小,且(1)如果称是比高阶的无穷小,记作相应地,也称是比低阶的无穷小.例:是比x的高阶无穷小.或无穷小比较的概念(2)若是同阶的则称与无穷小.特别地,若是等价例:同阶无穷小例:等价无穷小则称与的无穷小.记作常用等价无穷小关系根据等价无穷小的定义,可以证明,当时,有下列常用等价无穷小关系:例:证明常用等价无穷小关系即求证：设：所以：无穷小的比较例:判断下列无穷小比较
5、的类型:与时与时思考:与时与时常用等价无穷小关系根据等价无穷小的定义,可以证明,当时,有下列常用等价无穷小关系:注:在以上常用等价关系依然成立.例:常用等价无穷小的复合函数形式等价无穷小中,其复合函数例:结合常用等价关系.常用等价无穷小关系等价无穷小,理解其复合函数例:常用等价无穷小乘积关系注:在以上常用等价关系依然成立.等价无穷小中,其乘积的例:常用等价无穷小乘积关系结合常用等价关系.等价无穷小,理解其乘积的等价无穷小替换定理设且存在,则证明：等价无穷小替换定理例:求例:求当时等价无穷小替换定
6、理例:求例:求例:求例:求例:求例:求等价无穷小替换定理例:求例:求例:求
