【优化方案】2012高中数学 第2章2.4（一）知能优化训练 苏教版必修4.doc

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1、1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③(a－b)2＝

2、a

3、2－2

4、a

5、

6、b

7、＋

8、b

9、2；④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.其中正确的有__________个．解析：由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝

10、a

11、2－2

12、a

13、

14、b

15、cosθ＋

16、b

17、2知③不正确；对于④，∵a·b＝

18、a

19、

20、b

21、·cosθ＝0，∴

22、a

23、＝0或

24、b

25、＝0或cosθ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥

26、b，故④不正确．答案：12．已知a，b满足

27、a

28、＝1，

29、b

30、＝4，且a·b＝2，则a与b夹角为__________．解析：∵cosθ＝＝＝，∴θ＝.答案：3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则

31、a＋b

32、＝______.解析：

33、a＋b

34、＝＝＝＝.答案：4．在边长为的等边三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.解析：a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.答案：－3一、填空题1．已知

35、a

36、＝3，

37、b

38、＝4，a、b的夹角为120°，则a·b＝____

39、____.解析：a·b＝

40、a

41、

42、b

43、cos＝120°＝3×4×cos120°＝－6.答案：－62．若

44、a

45、＝1，

46、b

47、＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为__________．解析：设向量a与b的夹角为θ，由题意知(a＋b)·a＝0，∴a2＋a·b＝0，∴

48、a

49、2＋

50、a

51、

52、b

53、cosθ＝0，∴1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，

54、a

55、＝1，

56、b

57、＝2，则

58、c

59、2＝__________.解析：∵

60、a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．又∵a⊥b，∴a·b＝0.∴

61、c

62、2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.答案：534．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)①·；②·；③·；④·.解析：利用向量的数量积的定义逐项计算．根据正六边形的几何性质，得·＝0，·＜0，·＝

63、

64、·

65、

66、·cos＝

67、

68、2，·＝

69、

70、·2

71、

72、·cos＝

73、P1P2

74、2，经比较可知·最大．答案：①5．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则＝_____

75、_____.解析：∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，∴a2＝4b2，∴

76、a

77、＝2

78、b

79、，∴＝2.答案：26．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的__________．解析：∵·＝·＝·，∴·(－)＝0⇒·＝0⇒OB⊥AC.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．答案：垂心7．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC的形状为__________．解析：(＋)·(－)＝

80、

81、2－

82、

83、2＝0，∴

84、

85、＝

86、

87、，∴△ABC为等腰三角形．答案：等

88、腰三角形8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝__________.解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或5二、解答题9．已知a、b是两个非零向量，同时满足

89、a

90、＝

91、b

92、＝

93、a－b

94、，求a与a＋b的夹角．解：根据

95、a

96、＝

97、b

98、，有

99、a

100、2＝

101、b

102、2，又

103、b

104、＝

105、a－b

106、

107、，得

108、b

109、2＝

110、a

111、2－2a·b＋

112、b

113、2，3∴a·b＝

114、a

115、2.而

116、a＋b

117、2＝

118、a

119、2＋2a·b＋

120、b

121、2＝3

122、a

123、2，∴

124、a＋b

125、＝

126、a

127、.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.10．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＋＋，求·MB.解：如图所示．·＝(－)·(－)＝·＝·＝·－2－2＋·＝·－2－2＝×(2)2×－(2)2－(3)2＝－2.11．四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？解

128、：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即

129、a

130、2＋2a·b＋

131、b

132、2＝

133、c

134、2＋2c·d＋

135、d

136、2，由于a·b＝c·d，∴

137、a

138、2＋

139、b

140、2＝

141、c

142、2＋

143、d

144、2.　　　　　①同理有

145、a

146、2＋

147、d

148、2＝

149、c

150、2＋

151、b

152、2.②由①②可得

153、a

154、＝

155、c

156、，且

157、b

158、＝

159、d

160、，即四边形ABCD的两组对边分别相等．∴四边形ABCD是平