高考数学复习点拨 变量的相关性---知识导学.doc

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1、变量间的相关性——知识导学一、课标要求1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2．经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、要点清点（一）变量间的相关关系1．变量间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时我们称两个变量具有相关关系。注：相关关系与函数关系的异同点：

2、（1）相同点：两者均是指两个变量的关系。（2）不同点：①函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系。②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2．散点图把两个变量作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点，这样的图形叫做散点图。注：散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关关系；如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系。3．正相关、负相关具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小

3、变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。（二）两个变量的线性相关用心爱心专心1．线性相关、回归直线如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条，我们称之为回归直线。2．用最小二乘法求回归直线方程。记回归直线方程为，，叫做回归系数。利用最小二乘法可以求得回归系数：，。其中，。注：（1）我们知

4、道，回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是离差的平方和，即总离差，这样，回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法。（2）利用最小二乘法求回归系数，时，是将离差的平方和转化为关于或的二次函数，利用二次函数知识求得的。3．求回归直线方程的步骤（1）作出给出数据的散点图，并直观地判断是否是线性相关的；（2）求出，；（3）求出，；（4）求出和，写出回归直线方程。4．回归直线方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系：利用回归直线方程即可定量描述两个变量间依存的数

5、量关系；（2）利用回归方程进行预测：把预报因子（即自变量用心爱心专心）代入回归方程对预报量（即因变量）进行估计，即可得到个体值的容许区间。（3）利用回归方程进行统计控制规定值的变化，通过控制的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中的浓度。5．利用散点图和回归直线方程的注意事项（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前，最好先作出散点图，以判断是否是线性相关关系；（3）回归直线不要外延。三、范例剖析例1下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是

6、（）．小麦产量与施肥值．球的体积与表面积．蛋鸭产蛋个数与饲养天数．甘蔗的含糖量与生长期的日照天数分析：设球的半径为，则球的体积为，球的表面积，显然这两者不是线性关系。解析：评注：线性关系是一种函数关系，因此具有确定性。本题中的两者之间有相关关系，但不具有线性关系。例2要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号12345678910入学成绩63674588817152995876期末成绩6578528292897398567

7、5（1）若变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；（2）若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩。解析：（1），用心爱心专心。∴，，∴所求线性回归直线方程为。（2）某学生的入学成绩为80分，代入上式可求得，即这个学生期末成绩的预测值为84分。评注：知道与呈线性相关关系，无须进行相关性检验。否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。例3下表是我国居民生活污水排放量的一组数据：年份1

8、9951996199719981999200020012002排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.3试估计1996年我国居民生活污水的排放量，并预测2004年生活污水的排放量（单位：）。分析：要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水的排放量的相关关系表达出来，可先剔除1996年，样本容量为7。解析：设1995年为第1年，…2002年为第8年，