高考数学总复习 基础知识 第五章 第二节等差数列及其前n项和 文.doc

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1、第二节　等差数列及其前n项和1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.,3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列，首项记作a1，公差记作d.2．符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*)．二、通项公式若数列为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.三、前n项和公式Sn＝＝na1＋d.四、等差中项如果三数a，A，b成等差数

2、列，则A叫做a和b的等差中项，即A＝.五、等差数列的判定方法1．定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔是等差数列．2．中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔是等差数列．3．通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔是等差数列．4．前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)(n∈N*)⇔是等差数列．六、用函数观点认识等差数列1．an＝dn＋a1－d，d≠0时是关于n的一次函数．2．Sn＝n2＋n，d≠0时是关于n的常数项为零的二次函数．七、等差数列的重要性质1．在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am

3、＋an；若2m＝p＋q，则有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*，简称为下标和性质)．2．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等差数列，公差为kd.3．若数列是等差数列，Sn是其前n项的和，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)也成等差数列，公差为k2d.基础自测1．(2013·江门二模)已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则{an}的公差是(　　)A．1　　　　B．3C．5D．6解析：(法一)因为数列{an}是等差数列，a3＋a11＝24，a4＝3，利用等

4、差数列的性质可得2a7＝24，所以a7＝12，d＝＝3.(法二)设等差数列的公差为d，∵a3＋a11＝24，a4＝3，∴解得a1＝－6，d＝3，故选B.答案：B2．(2013·宁夏银川一中质检)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)A.B．±C．－D．－解析：由等差数列的性质，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.故选D.答案：D3．(2013·重庆卷)若2、a、b、c、9成等差数列，则c－a＝________.解析：设等差数列2，

5、a，b，c,9的公差为d，则9－2＝4d，所以d＝，c－a＝2d＝2×＝.答案：4．(2012·南京二模)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝_____________________.解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则有＝，得a1＝2d，∴＝＝.答案：1．(2013·安徽卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)A．－6B．－4C．－2D．2解析：由已知即解得a1＝10，d＝－2，所以a9＝a1＋8d＝－6.故选A.答案：A2．(2013·四川卷)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2

6、和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．解析：设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知可得，2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列{an}的前n项和Sn＝4n(n∈N*)或Sn＝(n∈N*)．1．(2013·汕头一模)在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，则k＝(　　)A．45B．46C．47D．48解析：∵ak＝a1＋

7、a2＋a3＋…＋a10，∴a1＋(k－1)d＝10a1＋45d，∵a1＝0，公差d≠0，∴(k－1)d＝45d，∴k＝46，故选B.答案：B2．(2013·沈阳二中月考)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝的前n项和为Tn，求证：Tn＜.(1)解析：∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12.∴a2＝4.又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a＝2a1·(a3＋1)，即a＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)．∴a1＝a

8、2－d＝1.故an＝3n－2.(2)证明：bn＝＝＝(3n－2)·