数学物理方程读书报告.doc

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1、数学物理方程读书报告遥感与数字地球研究所徐焕201428007010031数学物理方程这门课主要是为非数学专业理工科研究生的公共选修课，介绍偏微分方程的基本解法，变分法的基本思想和在求解常微偏微分方程中的应用,提高学生解决实际问题的数学能力。通过学习我基本上在原本的基础上对于定解问题、行波法、分离变量法等基本掌握，对于基本解方法和变分法等问题有了初步的熟悉和运算。具体而言本课程具体内容总结如下：第一章定解问题基本概念；三类基本方程；定解问题：第二章行波法Duhamel原理；一维波动问题；空间波动方程：第三章分离变量法分离变量法的一般原则；本征

2、值问题；曲线坐标系；特殊函数：第四章基本解方法热传导方程的基本解和初值问题；波动方程的基本解和初值问题；场位方程第一；边值问题的格林函数：第五章变分法泛函求导；泛函的极值问题；Euler-Lagrange方程；Lagrange乘子理论。现在具体分析每一章具体内容，着重分析泊松方程的格林函数法，内容如下：第一章讲了数学模型的建立以及方程的定解条件和定解问题。在研究物理﹑力学和工程技术的过程中会遇到一些问题，要求反映物理模型的某种规律，这就需要建立起相应的数学模型，然后运用那个数学理论和方法求解这个数学模型，掌握有关物理量的变化规律。本章首先讲了

3、偏微分方程的一般概念，并讨论了在偏微分方程理论中经常遇到的线性算子和对于线性偏微分方程的解成立的三个叠加原理。然后介绍了三大类二阶线性偏微分方程：双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，它们的典型代表分别为：波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程（泊松方程）。在介绍波动方程时，推导出了一维波动方程、m维波动方程及梁的横振动方程。从弦的横振动方程的推导过程可以知道，物体的振动产生了波的传播。热传导方程描述了热传导现象。拉普拉斯方程描述了电场中的势的分布规律。为了描述在特定条件下的物理状态的规律，不仅需要建立方程，还需要附加反映边界状态的边界条件以及与初

4、始状态有关的初始条件。第二章介绍了行波法和Duhamel原理。在求解常微分方程时，一般先求方程通解，通解含有任意常数，再利用初始条件确定这些常数。行波法就是仿照这个办法求解偏微分方程定解问题。先求偏微分方程的通解，而通解含有任意函数，再利用定解条件确定这些函数。行波法是求解无界域内定解问题的有效方法，但是只适用于很少的定解问题，如波动方程。第三章介绍了求解偏微分方程最常见、最基本的方法—分离变量法。分离变量法的物理背景是波动现象，但是它不仅适用于波动方程，也适用于热传导方程、拉普拉斯方程以及某些形式更复杂的方程和方程组。分离变量法的基本思想是

5、：利用变量分离形式的特解，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的问题，再利用定解条件和有关数学理论和方法求得定解问题的解。在利用分离变量法求解定解问题的过程中，都会涉及到求解特征值的问题。一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该变换下不变。该向量在该变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。第四章介绍了基本解法。热传导方程的基本解和初值问题；热传导问题和扩散问题满足热传导方程。热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表

6、达，其中u=u(t,x,y,z)表温度，它是时间变量t与空间变量(x,y,z)的函数。/是空间中一点的温度对时间的变化率。uxx,uyy与uzz温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所

7、产生的场。一、泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。设u（r）和v（r）在区域T及其边界S上具有连续一阶导数，而在T中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分化成体积积分（12-1-1）这叫作第一格林公式。同理，又有（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得亦即（12-1-3）表示沿边界S的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统

8、一地表为（12-1-5）其中j（M）是区域边界S上的给定函数。a＝0，b≠0为第一类边界条件，a≠0，b＝0是第二类边界条件，a、b都不等于零是第三类边界条件。泊松