基本不等式(二).docx

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1、基本不等式：≤（二）[学习目标]　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一　基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是

2、否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二　基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一　利用基本不等式求最值例1　(1)已知x≥，则f(x)＝有(　　)A．最大值B

3、．最小值C．最大值1D．最小值1(2)已知t＞0，则函数y＝的最小值为____．(3)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为____．答案　(1)－2　(2)3　(3)3解析　(1)y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1或t＝－1(舍)时，等号成立，∴y的最小值为－2.(2)xy＝12·≤12·2＝12·2＝3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为3.(3)f(x)＝＝＝≥1.当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．跟踪训练1　(1)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)A．1B．2C．3D．4(2)已知

4、x，y为正数，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________．答案　(1)D　(2)3＋2解析　(1)a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取“＝”．(2)由2x＋y＝1，得＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝－1时，等号成立．题型二　基本不等式的综合应用例2　(1)已知x＞1，y＞1，且lnx、、lny成等比数列，则xy(　　)A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值答案　C解析　由题意得2＝lnxlny，∴lnxlny＝，∵x＞1，y＞1，

5、∴lnxlny＞0，又ln(xy)＝lnxlny≥2＝1，∴xy≥e，即xy有最小值为e.(2)若对任意x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．解　设f(x)＝＝，∵x＞0，∴x＋≥2，∴f(x)≤，即f(x)max＝，∴a≥.跟踪训练2　(1)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．2B．4C．1D.(2)函数y＝kx＋2k－1的图象恒过定点A，若点A又在直线mx＋ny＋1＝0上，则mn的最大值为________．答案　(1)B　(2)解析　(1)由题意得，3a·3b＝()2，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4

6、，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．(2)y＝k(x＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A(－2，－1)，代入得－2m－n＋1＝0，∴2m＋n＝1，∴mn＝(2mn)≤·2＝，当且仅当2m＝n＝时，等号成立．题型三　基本不等式的实际应用例3　要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解　设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，ab＝9000.①广告的高为a

7、＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2＝18500＋2＝24500.当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2.跟踪训练3　一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全

8、部运到B市，最快需要________小时．答案　8解析　设这批货物从A市全部运到