等比数列及其前n项和考点与题型归纳.docx

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1、等比数列及其前n项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列

2、与指数型函数的关系当q>0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上；对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总—

3、—规律多一点设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*.(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列．(5)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.[典例]　(2018·全国

4、卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[题组训练]1．已知等比数

5、列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)A．2　　　　　　　　　　B．4C.D．2解析：选B　由题意，设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，则q2＝，q＝，所以a1＝＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)A．4B．10C．16D．32解析：选C　设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2

6、，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则解得则a8＝a1q7＝×27＝32.答案：32[典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．[证明]　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4

7、an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以＝＝＝＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法中项公式法通项公式法前n项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3，或者

8、是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．[题组训练]1．数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n，证明：{an＋1－2an}是等比数列．证明：因为a1＝S1,2a1＝S1＋2，所以a1＝2，由a1＋a2＝2a2－4得a2＝6.由于Sn＝2an－2n，故Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，后式减去前式得an＋1＝2an＋1－2an－2n，即an＋1＝2an＋2n，所以an＋2－2an＋1＝2an＋1＋2n＋1－2(2an＋2n)＝2(a