掌握正弦定理.ppt

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1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.定理正弦定理余弦定理内容a2＝b2＝c2＝b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝②sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝asinC＝csinA④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，cosA＝cosB＝cosC＝2RsinC2RsinA2RsinBsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理解决解斜三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边.②已知两边和其中

2、一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.[思考探究]在△ABC中，sinA＞sinB与A＞B间有何关系？提示：在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件.因为sinA＞sinB⇔⇔a＞b⇔A＞B.2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解1.已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°解析：根据正弦定理得：⇒sin

3、A＝，又a

4、理知答案：5.△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC的形状是.解析：acosB＝bcosA⇒＝⇒sinAcosB－cosAsinB＝0⇒sin(A－B)＝0，又∵A、B为△ABC的内角，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形.答案：等腰三角形1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断.2.应熟练掌握余弦定理及其推论.解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.3.三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大

5、边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(1)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c的值.(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB＝试求角B的大小.[思路点拨][课堂笔记](1)∵B＝45°＜90°，且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解.由正弦定理，得即sinA＝∴A＝60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，此时c＝②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，此时c＝∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝(2)由余弦

6、定理，得cosB＝∴a2＋c2－b2＝2accosB.故由tanB＝得∵B∈(0,180°)，∴B＝60°或B＝120°.若将例(2)中的“tanB＝”改换为“4sin2－cos2B＝”，如何求解？解：∵4sin2－cos2B＝∴2[1－cos(A＋C)]－2cos2B＋1＝，则4cos2B－4cosB＋1＝0，解之得cosB＝，又∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角

7、的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.[特别警示]判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意，“等腰三角形”和“等腰直角三角形”的判定.在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状.[思路点拨][课堂笔记]法一：由已知a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b

8、2cosBsinA，由正