第2章插值法ppt课件.ppt

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1、§2.1引言第2章插值法一、问题背景用来表示某种内在规律的数量关系。但有些只能给出[a,b]的一系列点，有些虽有解析表达式但计算复杂，它们都只能形成一个函数表。但在很多情况下，我们往往需要求出不在表上的函数值，所以我们希望做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函p(x)，用p(x)近似f(x)。应用：例如程控加工机械零件等。这样确定的就是插值函数。二、一般概念从几何上看，插值法就是求曲线y=p(x),使其通过给定的n+1个点(xi,yi),i=0,1,…,n,并用它近似已知曲线y=f(x).y1ynxx1xnyx0图2-1§2.1.2多项式插值设在

2、区间[a,b]上给定n+1个点a≤x0

3、点,求出形如的插值多项式的方法有多种.几何意义：就是通过两点（xk,yk)与（xk+1,yk+1)的直线，如图2-2所示y=L1(x)y=f(x)yk+1ykxk+1xkyx0yx0xkxk+1111图2-3几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。yx0xkXk+1Xk-11图2-42.2.2拉格朗日插值多项式需要指出(2.3)式与（2.5）式是当n=1和n=2时的特殊情形。注意：n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式，特殊情况下次数可能小于n.练习给定数据表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值

4、多项式L3(x).2.2.3插值余项与误差估计定义：若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x)，也称为插值多项式的余项。证明：由给定条件知Rn(x)在节点xk(k=0,1,…，n)上为零，即Rn(xk)=0(k=0,1,…，n)，于是其中K(x)是与x有关的待定函数。现把x看成[a,b]上的一个固定点，作函数（2.13）根据f的假设可知在[a,b]上连续，在(a,b)内存在，根据插值条件及余项定义，可知在点及x处均为零，故在[a,b]上有n+2个零点，根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在[a,b]内至少

5、有n+1个零点，对再应用罗尔定理，可知在[a,b]内至少有n个零点。依此类推，在(a,b)内至少有一个零点，记为，使于是将它代入（2.13）式，就得到余项表达式（2.12）。证毕。注意：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。利用余项表达式（2.12），当f(x)=xk(k≤n)时，由于fn+1(x)=0,于是有由此得（2.17）特别当k=0时，有（2.18）例1已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.例1已知sin0.3

6、2=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.§2.3差商与牛顿插值2.3.1插值多项式的逐次生成利用插值基函数很容易得到拉格朗日多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要.但当插值节点增减时，计算要全部重新进行，甚为不便。2.3.2均差及其性质差商的基本性质:由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商…01234┆x0x1x2x3x4┆f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)┆f[x0,x1]f[x1,x2]f[x0,x1,x2]f[x

7、2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]…┆┆┆2.3.3牛顿插值多项式（3.7）（3.8）牛顿均差插值多项式kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24§2.3.4差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分．一、差分及其性质差分的基本性质:差分表:∆2f0∆2f1…┆∆2f2┆┆∆f0∆f1∆f2∆f3┆f0f1f2f3f4

8、┆01234┆∆2∆3…∆fkk二、等