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1、二重积分的概念与性质问题的提出二重积分的概念二重积分的性质小结思考题作业doubleintegral第一节二重积分的概念 与性质第九章重积分2一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的?回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为二重积分的概念与性质3曲顶柱体体积=特点1．曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).?曲顶顶是曲的二重积分的
2、概念与性质4柱体体积=特点分析?曲边梯形面积是如何求以直代曲、如何创造条件使?解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶平曲这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、求和、取极限.二重积分的概念与性质底面积×高5步骤如下用若干个小平顶柱体体积之和先任意分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积并任取小区域，近似表示曲顶柱体的体积，二重积分的概念与性质6(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式(用表示第i个子域的面积).将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点二重积分的概念与性质7(3)求和即得曲顶柱体
3、体积的近似值:(4)取极限λ)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积二重积分的概念与性质82.非均匀平面薄片的质量(1)将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片.(2)(3)(4)近似任取小块设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.二重积分的概念与性质9也表示它的面积,二、二重积分的概念1.二重积分的定义定义作乘积并作和①②③二重积分的概念与性质10积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,极限为函数二重积分,记为即④二重积分的概念与性质1
4、1曲顶柱体体积它的面密度曲顶即在底D上的二重积分,平面薄片D的质量即二重积分的概念与性质在薄片D上的二重积分,122.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为二重积分的概念与性质Dyxddd=s13(A)最大小区间长;(B)小区域最大面积;(C)小区域直径;(D)最大小区域直径.D选择题二重积分的概念与性质142.二重积分的存在定理设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相
5、应的二重积分的概念与性质15(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,二重积分的概念与性质16例设D为圆域?二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：二重积分的概念与性质RD17性质１为常数,则(二重积分与定积分有类似的性质)二重积分的概念与性质三、二重积分的性质根据二重积分的几何意义,确定积分值练习18以1为高的性质2将区域D分为两个子域性质3若为D的面积oxy
6、D1D2注既可看成是以D为底,柱体体积.对积分区域的可加性质.D1与D2除分界线外无公共点.D又可看成是D的面积.二重积分的概念与性质19二重积分的概念与性质问在有界闭区域D1上可积,且则必有20特殊地性质4(比较性质)设则二重积分的概念与性质例的值=().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为负B21选择题比较(D)无法比较.oxy1••1•2C(2,1)•性质4(比较性质)的大小,则()二重积分的概念与性质22解例判断的正负号.故于是又当二重积分的概念与性质23几何意义以m为高和以M为高的两个证再用性质1和性质3,性质5(估值性质)则σ为D的面
7、积,则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.则二重积分的概念与性质24解估值性质区域D的面积在D上例不作计算,二重积分的概念与性质25性质6(二重积分中值定理)体积等于显然几何意义证D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱体以D为底为高的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以二重积分的概念与性质有26的最大值M与最小值m之间的.由闭区域上连续函数的介值定理.两端各乘以点的值证毕.即是说,确定的数值是介于函数在D上至少存在一点使得函数在该与这个确定的数值相等,即二重积分的概念与性质27选择题(A)(B)(C)(D)提示:B是有界闭区
8、域D:上的连续函数,不存在.利用积分中值定理.二重积
