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1、第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题1复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？定积分答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,取近似,求和,取极限”（3）如何计算定积分？2现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分问题:积分类型3柱体体积=底面积×高【特点】平顶.
2、柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体1．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例4类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”解法5步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：62．求平面薄片的质量⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量分析=常数时，质量=·，其中
3、为面积.⑷取极限：得薄片总质量若为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:8二、二重积分的定义及可积性1.定义将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,92.【对二重积分定义的说明】(3)f(x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件.代替？不能连续是二重积分存在的充分条件用(1)积分存在时，其值与区域的分法
4、和点的取法无关(证明略)103.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.几个特殊结果体积的代数和11[注]1.重积分与定积分的区别：重积分中d0,定积分中dx可正可负.2.根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:12性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质13性质3对区域具有可
5、加性性质4若为D的面积，性质5若在D上特殊地则有比较性质14性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义15证明以下仅证性质7（中值定理）由估值性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理变形后【得证】16比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上作业题、课后习题见作业答案解法或有关习题解答例1解Ⅰ解Ⅱ17例2解18解课后习题例319机动被积函数相同,且非负,由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:练习解[提示]被积函数相同，则比较区域D的
6、大小.202.设D是第二象限的一个有界闭域,且07、的体积）（积分和式的极限）四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）[二重积分的比较大小]1.若区域D相同，则比较被积函数的大小；2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.2425一利用直角坐标计算二重积分二小结思考题§10.2二重积分的计算法（一）26复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积为在点x处的平行截面的面积为:(1)二重积分27其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］[X—型区域的特点]穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.[预备知识]28(
8、2)［Y－型域］[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多
