第15届全国高中数学联赛试题及解答

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1、一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a–1)+lg(b–1)的值()（A）等于lg2（B）等于1(C)等于0(D)不是与a,b无关的常数2.若非空集合A={x

2、2a+1≤x≤3a–5},B={x

3、3≤x≤22},则能使AÍA∩B成立的所有a的集合是()（A）{a

4、1≤a≤9}(B){a

5、6≤a≤9}(C){a

6、a≤9}(D)Ø3.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40

7、等于()(A)150(B)-200(C)150或-200(D)-50或4004.设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x2+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同；命题Q：==．则命题Q()(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件(D)既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5.设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是()(A)arcsin(B)+arccos(C)－arctan(D)π

8、－arccot6.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是()(A)57(B)49(C)43(D)37二、填空题(本题满分54分,每小题9分)各小题只要求直接填写结果.1．若f(x)(xÎR)是以2为周期的偶函数,当xÎ[0,1]时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是．2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R.当P,Q,R不共线时,以线段PQ,PR为两边的平行四边

9、形的第四个顶点为S,点S到原点距离的最大值是___________.3．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是．6．DABC中,ÐC=90o,ÐB=30o,AC=2,M是AB的中点.将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为2，此时三棱锥A

10、-BCM的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+icosθ(<θ<π)，求z的共轭复数的辐角主值．-10-四、（本题满分20分）设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)．对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式

11、f(x)

12、£5都成立．问：a为何值时l(a)最大?求出这个最大的l(a)．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(–a,0),(ab¹0,b2¹2pa)．M是抛物线上的点,设直线

13、AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1¹M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．-10-第二试一、（满分50分）如图，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。注：△ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。二、（满分50分）设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且a=b，求证：≤a．并问：等号成立的充要条件．三

14、、（满分50分）对于正整数a、n，定义Fn(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有F(F(F(F(F(F(a))))))=1．证明你的结论．-10-一九九八年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a–1)+lg(b–1)的值()（A）等于lg2（B）等于1(C)等于0(D)不是与a,b无关的常数解：a+

15、b=ab，(a－1)(b－1)=1，由a－1>0，b－1>0，故lg(a－1)(b－1)=0，选C．2．若非空集合A={x

16、2a+1≤x≤3a–5},B={x

17、3≤x≤22},则能使AÍA∩B成立的所有a的集合是()（A）{a

18、1≤a≤9}(B){a

19、6≤a≤9}(C){a

20、a≤9}(D)Ø解：AÍB，A≠Ø．Þ3≤2a+1≤3a－5≤22，Þ6≤a≤9．故选B．3．各项