复变函数与积分变换参考答案

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1、复变函数习题解答习题一221.1．对任何，zzz=

2、

3、是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对z那些值才成立？22解：设zxy=+i，则要使zz=

4、

5、成立有22222222x−+=+yx2iyxy，即xyxyx−=+,y=0。由此可得z为实数。1.2．求下列各式的值15663（1）(3−i)；（2）(1+i)；（3）−1；（4）()1−i55⎡⎛3i⎞⎤−iπ6/5−5iπ6/解（1）()3−i=⎢2⎜−⎟⎥=()2e=32e⎢⎜22⎟⎥⎣⎝⎠⎦⎡⎤⎛⎞⎛⎞5π5π=−32cos⎢⎥⎜⎟⎜⎟+isin−=−16316i−⎣⎦⎝⎠⎝⎠6666⎡⎤⎛⎞1ii/4ππ63i/2（2）()1i+=

6、⎢⎥2⎜⎟+=()2e=8e=−8i。⎣⎦⎝⎠2216−=1eiπ+2kπ6=eiπ()21/k+6,k=0,1,2,3,4,5。可知6（3）()−1的6个值分别是iπ/63iiπ/25iπ/63ie=+,e=i，ei=−+2222i7π/63i3iπ/2i11π/43ie=−−，e=−i，e=−。222211⎛π⎞1⎡⎛1i⎞⎤3i⎜−+2kπ⎟3−iπ/436⎝4⎠（4）()1−i3=⎢2⎜⎜−⎟⎟⎥=()2e=2e,k=0,1,2。⎣⎝22⎠⎦1/3可知()1i−的3个值分别是6−iπ2/6⎛ππ⎞2e=2⎜cos−isin⎟,⎝1212⎠67iπ/126⎛7π7π⎞2e=2⎜cos+

7、isin⎟,⎝1212⎠65iπ4/6⎛5π5π⎞2e=2⎜cos+isin⎟。⎝44⎠131.3．（1）求方程z+8=0的所有根1πi12()+k解（1）ze=−=()8233，k=0,1,2。即原方程有如下三个解：1+i,3−,21−i3。1.4．指出下列各题中点z的存在范围，并作图。（1）

8、5z−=

9、6；（2）

10、z+

11、i2≥1；（3）Im(z)≤2（4）0a<

12、2(a)(b)2i(c)(d)1.5．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的。（1）Imz>0；（2）z−1>4；（3）00yOx不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。（2）z−1>4yO15x22圆(z−)1+y=16的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。（3）0

13、6．已知映射w=z，求（1）点z=i，z=1+i，z=3+i在w平面上的像。123π（2）区域0

14、设fz()=⎜⎟−≠,(z0)试证当z→0时f()z的极限不存在。2i⎝⎠zz12⎛⎞zzxy证fz()=−⎜⎟=，显然。222i⎝⎠zzx+y1.8．试证argz(−π

15、gz在z平面上的其它点z→z0处的连续性显然。41．设函数f(z)在处连续，且z0f(z0)≠0，证明存在z0的邻域使f(z)≠0。f(z0)证因为limf(z)=f(z0)，且f(z0)≠0。可取ε=>0，则∃δ>0，当z→z02z−z0<δ时，有f(z0)f(z)−f(z0)<ε=2f(z0)f(z0)从而f(z0)−>0即点z∈U(z0,δ)时，则f(z)≠0。222．设lim(