数值计算方法各章节习题&答案

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1、第1章绪论一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)∗1、近似数x=0.231关于真值x=0.229有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。42、取3≈1732.计算x=−()31，下列方法中哪种最好？（）21616(1)28163−；(2)()423−；(3)；(4)。24()423+()31+3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。4、下列说法错误的是（）

2、。（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。∗∗5、已知近似数x的相对误差限为0.3％,则x至少有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）5。二、填空题（每小题3分，共计15分）∗1、设π的近似数π有4位有效数字，则其相对误差限为_______。∗∗2、x的相对误差约是x的相对误差的倍。3、计算球体积

3、时要使相对误差限为10%，问测量半径时允许的相对误差限是。4、规格化浮点数系F=−(,,,)2412中一共有个数11−1−x5、用数[]1+e作为计算积分I=∫edx的近似值，产生的主要误差是。20∗∗∗三、（13分）对于有效数xxx=−3.105,=0.001,=0.100，估计下列算式是相对误差限123∗yxxxyxxxy=++∗∗∗;;=∗∗∗=x2112321233∗。x3四、（16分）写出下列各题的合理计算路径，使计算结果更精确（不必计算结果），并说明理由。1−cosx11−x（1）,x

4、x≠01且<<；（2）−,x<<1；sinx121++xx11x+1dt（3）xxx+−−,>>1；（4）,x<<1；xx∫x1+t2五、（15分）设序列{}y满足递推关系yyn=10−=1,,12,L，若y=≈2141.，计nnn−10算到y时误差有多大？计算过程是否稳定？如果不稳定，试给出一种稳定的计算方法，并说10明理由。∗∗∗六、（13分）已测得某场地长x的值为x=110米，宽y的值为y=80米，已知xx−≤02.∗米，yy−≤01.米。试求面积sx=y的绝对误差限和相对误差限。*∗m七、

5、（13分）设x的近似数x表示为x.=±01aaLLaa×0，证明：若a是有效数字，12knk1−−()k1∗∗1−k则其相对误差不超过×10；若已知相对误差e，且e≤×10，则a必为有效数字。rrk22。1第1章绪论参考答案一、选择题（15分，每小题3分)1、(2)2、(3)3、(3)4、(4)5、（2）二、填空题（15分，每小题3分）1−3111、×10；2、；3、；4、33；5、截断（方法）误差2230三、（13分）∗∗∗解：已知有效数的绝对误差限为ex()===ex()ex()0.0005，

6、-------------（2分）123从而相对误差限为∗∗∗ex()==0.00016,(ex)0.5,(ex)=0.005，rr12r3∗∗∗∗ey()()()()0≈++=exexex.0015，--------------------------------（4分）r1123由绝对误差限的传播关系式得∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗1∗∗x2ey()≈++xxex()xxex()xxex()，e()y≈+ex()ex()，223113212332∗∗23xx()33----------------

7、----------------（7分）所求算式的相对误差限为∗∗ey()10.0015ey()≈≤≈0.0005，r1y∗3.0041∗ey(∗)≈≤ey()2exexex(∗∗∗)+()+()≈0.50516，rr21∗r2r3y2∗∗∗ey()3∗ey()≈≈exex()+()=0.505。--------------------------------（13分）rr32∗r3y3四、（16分）2x2sin1−cosxx2解：（1）==tan（避免很小的数作除数）；------（4分）sin

8、xxx22sincox22211−xx2（2）−=（避免相近的数相减）；-----------------（8分）121++++xx()121xx()211x2（3）xx+−−==（理由同（2））；xx1111xxx++−()xx++−xxxx--------------------------------（12分）x+1dt1（4）=+arctan(xx1)arctan()−=arctan（理由同（2））∫x11++tx2+x2tanx−tany（利用公式tan(xy−=)即得）