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1、Matlab程序设计：微分方程求解主讲人：王佐才1.引言Matlab能够求解的微分方程包括：常微分方程的初值问题，常微分方程的边值问题，时变常微分方程的初值问题，以及偏微分方程。2.常微分方程的初值问题Matlab可以求解的常微分方程包括：显示常微分方程：y'=f(t,y)线性隐式常微分方程：M(t,y)y'=f(t,y),其中，M(t,y)为矩阵。全隐式常微分方程：f(t,y,y')=03.利用Matlab编程时需要用的主要命令ode45:基于显示Runge-Kutta（4，5）方法求解。对于多数方程来讲，ode45是最佳的尝试函数命令。ode23：基于显示Runge-Kutta（2，3）
2、方法求解。ode113：利用变阶Adams-Bashforth-Moulton算法求解。与ode45函数相比，该方程对于精密度步长及方程难于估计时效更好，但是该方法是多步算法，需要用到前面几个节点的信息来求解当前节点，效率较低。4.ode45调用格式[t,x]=ode45(@myode,[t0:dt:t1],initial_condition)从调用格式来看，首先必须生成函数文件“myode”。functiondydt=myode(t,y)dydt=[fun1;fun2;…;funn];end5.应用实例一：求解微分方程：（1+y2）y'-2y=0，初值y(0)=1时,t从0至10时刻的解。
3、functiondydt=myode(t,y)dydt=[y(1)*2./(1+y(1).^2)];end[t,y]=ode45(@myode,[0:0.01:10],[1])6.应用实例二：3求解范德蒙方程y''-1-y2y'+y=0的解。时间0至20，初值y(0)=2,y’(0)=0。functiondydt=myode(t,y)dydt=[y(2)；（1-y(1)^2）*y(2)-y(1)];end[t,y]=ode45(@myode,[0:0.01:20],[2;0])1.应用实例三：一质点在空中飞行，所受的空气阻力方向始终与速度方向相反，大小与速度平方成正比。求质点的飞行轨迹和飞行
4、路程。根据题意：我们可以建立如下方程（vx，vy分别为质点沿x、y方向的速度，c为空气阻力系数）：dx/dt=vxdy/dt=vymdvx/dt=-cv^2cosa=-cv*vxmdvy/dt=-cv*vy-mgfunctiondydt=myode(t,x)c=0.01;m=1;g=9.8;dydt=[x(3);x(4);-1/m.*(c.*sqrt((x(3).^2+x(4).^2))).*x(3);-1/m.*(c.*sqrt((x(3).^2+x(4).^2))).*x(4)-g];end[t,y]=ode45(@myode,[0:0.01:6],[0;0;50*cos(pi/6);5
5、0*sin(pi/6)];2.应用实例四：3如图所示的弹簧－阻尼－质量系统的质量为m，刚度为k，阻尼为c。其自由振动的微分方程可以表示为：mx+cx+kx=0，其中x为任一时刻质量块离平衡位置的位移，x与x分别为位移对时间的一阶、二阶导数，分别称为速度与加速度。若m=10,k=100,c=4。编写Matlab程序求该质量块在初始位移为1，初始速度为0时，前20秒的位移解。若c=8,50时，从新求解上述方程，并画出c=4,8,50时的位移曲线图（提示，先编写函数文件，再调用matlab命令求解）。functiondydt=myode(t,x)m=10;k=100;c=4;dydt=[x(2);
6、-c/m*x(2)-k/m*x(1)];end[t,y]=ode45(@myode,[0:0.01:20],[1,0]);1.作业：任意找一具有物理背景的二阶或者高阶微分方程或方程组，在给定初始条件下，编写matlab程序求解该微分方程或者方程组。3
