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1、Matlab求解微分方程教学目的：学会用MATLAB求简单微分方程的解析解、数值解，加深对微分方程概念和应用的理解；针对一些具体的问题，如追击问题，掌握利用软件求解微分方程的过程；了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；体会微分方程建摸的艺术性．1微分方程相关函数（命令）及简介函数名函数功能Dy表示y关于自变量的一阶导数D2y表示y关于自变量的二阶导数dsolve('equ1','equ2',…)求微分方程的解析解，equ1、equ2、…为方程（或条件）simplify(s)对表达式s使用maple的化简规则进行化简[r,how]=simple(s)simple命令就是对表达式s用各种规则进
2、行化简，然后用r返回最简形式，how返回形成这种形式所用的规则．[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)求微分方程的数值解，其中的solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb之一，odefun是显式常微分方程：，在积分区间tspan=上，从到，用初始条件求解，要获得问题在其他指定时间点上的解，则令tspan=（要求是单调的）．ezplot(x,y,[tmin,tmax])符号函数的作图命令．x,y为关于参数t的符号函数，[tmin,tmax]为t的取值范围．inline()建立一个内联函数．格式：inlin
3、e('expr','var1','var2',…)，注意括号里的表达式要加引号．因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver．求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性单步算法；4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法；2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；G
4、ear's反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法；2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短要特别的是：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的Matlab的常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．1求解微分方程的一些例子2.1几个可以直接用Matlab求微分方
5、程精确解的例子：例1：求解微分方程，并加以验证．求解本问题的Matlab程序为：symsxy%line1y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')%line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)%line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2))%line4说明：(1)行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2)行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3)行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程
6、，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4)行line4用simplify()函数对上式进行化简，结果为0，表明的确是微分方程的解．例2：求微分方程在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的Matlab程序为：symsxyy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x*exp(1)(Matlab格式)，即，此函数的图形如图1：图1y关于x的函数
7、图象2.2用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例３：求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0,0.5]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); x; yplot(x,y,'o-')>>x'ans=0.00000.04000.09000.14000.19
