用向量法解立体几何问题

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1、第30讲用向量法解立体几何问题高考要求向量作为高中教材新增内容，以其独特的数形结合和坐标运算，使之成为广泛应用工具，但今后几年将有淡化的趋势．一、两点解读重点：1．求异面直线的夹角；2．求直线与平面所成的角；3．求二面角的大小；4．求点到面的距离．难点：求二面角时，对二面角是锐角或钝角的判断．二、课前训练1．在正方体中，下列各式中运算结果为向量的共有（）①（　　　　②③　　　　　　　④（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2．已知三点不共线，点是平面外一点，则下列各条件中，能得到点与一定共面的条件为（　）（A）（B

2、）（C）　　（D）3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则直线D1E，BC1所成角的大小为．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O—AB1D1的体积为．三、典型例题例1正方体ABCD—A1B1C1D1中，则异面直线AC与BC1的夹角为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，点M在棱AB上，且,点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为１，则点P的

3、轨迹是（　）（A）抛物线　（B）双曲线（C）直线　　（D）以上都不是例3过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是．例4四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，给出三个结论：（1）四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱；（2）底面ABCD为菱形；（3）AC1⊥B1D1．以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数为．例5如图，在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=A

4、C=1，PA=2．（Ⅰ）求直线PA与平面DEF所成角的大小；（Ⅱ）求点P到平面DEF的距离．例6如图，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分别是棱BC、的中点，AB=AA1=2．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ）求二面角的大小；(Ⅲ）求异面直线与BE的距离．第30讲用向量法解立体几何问题1．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：①；②；③；④，其中正确的两个命题的序号是（）（A）①与②（B）③与④（C）②与④（D）①与③2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q是对角线A1C上的点，且PQ=，则三棱

5、锥P－BDQ的体积为（）（A）（B）（C）（D）无法确定3．空间四边形每边及对角线长均为，分别是的中点，则（）（A）B．1（C）（D）4．在正三棱锥P-ABC中，已知底面边长为4，侧棱长为6，则侧棱与底面所成角的大小为______________．5．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．6．正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O—AB1D1的体积为．7．如图，在棱长

6、为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、A1D1的中点，G、H分别为BC、B1D1的中点．（1）求异面直线GH与DF的所成角的大小；（2）指出直线GH与平面EFDB的位置关系．8．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a．(Ⅰ)求截画EAC的面积；(Ⅱ)求证：直线DB1⊥平面EAC；(Ⅲ)求三棱锥B1—EAC的体积．第30讲用向量法解立体几何问题答案课前训练1．2．3．4．典型例题例1．例2．例3例4

7、1例5解：（Ⅰ）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），，，设是平面DEF的一个法向量，则即，取x=1,则，设PA与平面DEF所成的角为，则例6证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标A(0,0,0),B(,1,0)，B1(,1,0),E(0,2,1),则，即（Ⅱ）易知：，，设是平面的一个法向量，则，令则，，设是平面一个法向量，则，令则设二面角为，则（Ⅲ）设是与BE的法向量,则，可得：取y=3,可知，．五、过关练习1．　　2．3．4．5．

8、圆弧，6．7．(1)arccos；(2)平行8．；(2)略；(3)