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1、利用法向量解立体几何题一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ，只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量，则角<>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=,不需要用法向量。αnA1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为=（x,y,1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos(-θ)=
2、cos<,>
3、=2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为，则<>或π-<>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是π-<>是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a
4、、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇EF，交a＇于A＇，则，所以∠BAA＇=<>（或其补角）∴异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=*其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得①解方程组可得。52、求点到面的距离求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程
5、组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d=4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d=三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则四、应用举例：例1：（广东18）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB
6、=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设法向量与平面C1DE垂直，则有5（II）设EC1与FD1所成角为β，则例2：（辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1
7、）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）∴=（，，-1），=（，0，-1），平面PED的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的法向量为=（x,y,1)由∴=（,0,1)∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（,0,1),设平面FAB的法向量为1=（x,y,-1)，由（1）知：F（0，0，），=（，，
8、-），=（，0，-），5由∴1=（-,0,-1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=
9、cos<,1>
10、=例3：（江苏高考18)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.解:(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）∴=(-4,4,1),显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量，∴直线AP与平面BCC1B1所
11、成的角θ的正弦值sinθ=
12、cos<,>
13、=∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为=（x,y,1)，∵=（0，4，0），=（-4，0，4）由⊥，⊥得∴=（1,0,1)，∴点P到平面ABD1的距离d=例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）∴设A1O与B1C的公共法向量为，则5∴∴A1O与B1C的距离为d=例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D
14、1中，E、
