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《用向量法解立体几何》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、标准文案空间向量与立体几何一．空间向量1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的
2、正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量,设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组,使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯大全标准文案一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则，，，，（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐
3、标减去起点的坐标。4.向量夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作规定：特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。大全标准文案5.数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝（2）夹角：．（3）运算律；；（4）模长公式：若，，则，．（5）两点间的距离公式：若，，则或．（6）二．空间向量与立体几何1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
4、大全标准文案2.平面的法向量（1）定义：所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．（2）平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：①设出平面的法向量为．②、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标③、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组n∙a=0n∙b=0④、解方程组，取其中一个解，即得法向量（一）、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系1、用向量方法证明空间中的平行
5、关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．(1)线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a=kb(k∈R)⑵线面平行直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则要证明，只需证明，即.大全标准文案⑶面面平行若能求出平面α、β的法向量、，则要证明α//β，只需证明//⒉用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．⑴线线垂直设直线l1、l2的方向向量分别是、，则要证明l1⊥l2，只需证明⊥，即⑵线面垂直
6、设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则要证l⊥α，只需证明//⑶面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直．【考点归纳分析】考点1.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例1（2010湖南理18）在正方体，E是棱的中点。在棱上是否存在一点F，使∥平面?证明你的结论。审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析：
7、大全标准文案以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)，∴=(－2,2,1),=（－2，0，2），设面的法向量为=（，，），则==0且==0，取=1，则=－1，=，∴=（1，，－1）,假设在棱上存在一点F，使∥平面，设F(，2，2)（0≤≤2）,则=（，2，2），则==0，解得=1，∴当F为中点时，∥平面.【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交
8、直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例2在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一
