数学建模第四讲：实验建模

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1、数学建模任煜东河南财经学院数学系手机：13526873501Email:hncjxyryd@126.comqq群：70416904第四讲实验建模一、引言：解释性模型和预测模型解释性模型中，建模者极力猜测某种关系，以便有一个满意地解释所研究问题的模型。建模者愿意接受模型和收集到的数据点之间的误差。建模者利用一些假定来选择一个特定的模型类型，解释观测值反应的状况。如果手收集的数据证实了假定的合理性，建模者将为选定的曲线选取参数，使其在某些准则下（如最小二乘）达到最佳。这种模型是理论推动型的，建模者接受模型和数据之间的偏差。预测（经验）可能构造一个满意的解释所研究问题的易于处理的模模型：有些情况下，

2、建模者不型。如果仍然必须做出预测，建模者可以进行实验（收集数据），基于收集的数据构造一个经验模型。这种情况下，建模者受到所细心收集到的数据的强力影响，寻找曲线追踪数据倾向，在数据点间做出预测。这种模型是数据推动的。4.1Chesapeake海湾的收成和其他单项模型考虑这样一种情形：建模者已经收集到一些数据，但不能以此构造一个解释性的模型。例如：我们使用Chesapeake海湾的商贸行业提供的如下数据：a)收获蓝鱼的观测数据b）蓝蟹的观测数据年蓝鱼蓝蟹年蓝鱼蓝蟹19401500010000019702900004400000194515000085000019756500004660000195

3、02500001330000198012000004800000195527500025000001985150000044200001960270000300000019902750000500000019652800003700000做出蓝鱼对时间的散点图和蓝蟹对时间的散点图：蓝鱼对年份散点图蓝蟹对年份散点图图形显示：时间增长时，有收获更多蓝鱼和蓝蟹的趋势,但没有一个很明显的更精确的描述。我们的策略：变换数据，使得所产生的图形近似一直线,得到一个工作模型。变换的方法：利用变量z的幂次阶梯表，帮助选择一个适当的线性变换。幂次阶梯根据5个数据点画图：用代替用代替用代替对于直线y=x,当x>1时

4、，将每一点的y值改变为产生新的关系y值的范围更集中：全部y值变小了，但大值的变化幅度更大。改变y值为有类似的影响但更显著阶梯每向下增加一梯步，类似的影响就更强一些。应该采用哪个变换是反复试验和经验的问题。例1收获蓝鱼数据倾向显示出增的、凹的，使用幂次阶梯挤压右侧尾部向下，改变y值，用logy代替y值（或用等代替x）。用1940年的基地年数为x=0，每一基底年数代表一个5年时段。经过试验，和对x的图形更接近直线。选取logy对x的模型，用最小二乘拟合这一形式的模型拟合出参数，得到模型：例2收获蓝蟹原数据点是递增、下凹。经过几次试验,选取用代替挤压右侧尾部向左。用最小二乘拟合得：验证模型：比较观测

5、值和预测值，计算残差和相对误差.在预测2010年海湾收成时，模型依然使用吗？预测结果:蓝鱼百万磅蓝蟹百万磅蓝鱼的预测结果可能要大，蓝蟹的预测结果可能要小.一般来说,这些简单的单项模型应该用于插值而不是外推。总结：构造一个预测模型时,总是从细心分析收集到的数据开始,看数据存在什么样的倾向？是否有明显处于倾向之外的数据点？如果有这样的异常值存在,是否要抛弃他们?是否要做一个数据收集错误的检查？当某一倾向确实存在时,找到一个将数据变换成直线（近似）的函数，可尝试阶梯表中列出的函数,也可以用其他变换。警惕使用变换带来的欺骗性,特别当数据点集中在一起时。估计模型参数后,必须分析拟合优度。记住是对原始数据

6、而不是变换后的数据画出模型。不满意,可以研究其他的。若单项模型不能拟合全部数据集，要使用其他技术。高阶多项式模型：多项式的拉格朗日形式：设收集到下列数据：xx1x2x3x4yy1y2y3y4考虑下述三次多项式：该多项式是三次多项式，容易验证经过给定的四个点。推广这一形式，得到拉格朗日多项式：定理1：如果x0,x1,…,xn是(n+1)个不同的点，而y0,y1,…,yn是这些点上对应的观测值，那么存在一个唯一的最高阶为n的多项式P（x），具有性质：对每一个k=0,1,…,n这一多项式由下式给定：其中上述多项式通过每一个数据点，产生绝对偏差和为0.按照各种最佳拟合准则，可以用高阶多项式拟合较大的数

7、据集。下面考察高阶多项式的优缺点。注意：若不限制最高阶为n，则多项式不唯一！高阶多项式的优点和缺点例1优点：多项式函数易于积分和微分。如果获得一个多项式，很适合的表达了基本状态，近似估计出未知的真实模型的积分和微分，应该是很容易的。但也有缺点：数据趋势很明显，对任意的x，y=0。但可以构造一个通过所有点的多项式（如图）.在8和-8附近有较大的误差。高阶多项式在区间端点附近剧烈摆动是使用时的一个严重