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1、数值分析第一次作业设有的实对称矩阵A，其中，。矩阵A的特征值为，并且有1.求，和的值。2.求A的与数最接近的特征值。3.求A的(谱范数)条件数和行列式detA。一方案设计1求，和的值。是矩阵A最小的特征值，为矩阵最大的特征值。对矩阵A使用幂法可以求出、其中的一个，但不确定是哪一个，设求出的值为。然后再构造矩阵B=A-I，对矩阵B使用幂法求出其按模最大的特征值，可得、中另外一个值，为+。比较和+，其中较小者为为，较大者为。为按模最小特征值，,直接利用反幂法可以求得。2求A的与数最接近的特征值。题目可看成求以为偏移量后，按模最小的特征值。即以为偏移量做位移，
2、使用反幂法求出按模最小特征值后，加上，即为所求。3求A的(谱范数)条件数和行列式detA。矩阵A为非奇异对称矩阵，可知，(1-1)其中为按模最大特征值，为按模最小特征值。detA可由LU分解得到。因LU均为三角阵，则其主对角线乘积即为A的行列式。二算法实现1幂法使用如下迭代格式：(2-1)终止迭代的控制理论使用，实际使用(2-2)由于不保存A矩阵中的零元素，只保存主对角元素a[501]及b,c值。则上式中简化为：(2-3)2反幂法使用如下迭代格式：(2-4)其中，解方程求出。对于的求解算法我采用了LU分解法和JACOBI迭代法两种。（1）LU分解由于A为
3、5对角矩阵，选择追赶法求取LU分解。求解过程如下：(2-5)由上式推出分解公式如下：(2-6)推导出回代求解公式如下：(2-7)(2-8)（2）JACOBI迭代法迭代公式如下所示：u1k=-bu2k-1+cu3k-1+y1k-1/a[1][1]u2k=[-(bu1k-1+bu3k-1cu4k-1)+y2k-1]/a[2][2]u500k=-bu498k-1+bu499k-1+cu501k-1+y500k-1/a[500][500]u501k=-cu499k-1+bu500k-1+y501k-1/a[501][501]uik=-cui-2k-1+bui-1
4、k-1+bui+1k-1+cui+2k-1+yik-1/a[i][i](2-9)3及A行列式求解(2-10)由式(2-5)可得：(2-11)三源程序#include#includedoublemifa(doublea[501]);//幂法doublefanmifa1(doublea[501]);//反幂法（三角分解法求解U(k)）doubledet(doublea[501]);//求detdoublefanmifa(doublea[501]);//反幂法（jacobi求解）doubleep=1e-12,b=0.16,c=
5、-0.064;intj=0;intmain(){inti,k;doubleA[501],B[501],beta_1,beta_501,beta_s,beta_k,beta_m;doublemu;for(i=0;i<501;i++)A[i]=(1.64-0.024*(i+1))*sin(0.2*(i+1))-0.64*exp(0.1/(i+1));beta_1=mifa(A);for(i=0;i<501;i++)B[i]=A[i]-beta_1;beta_m=mifa(B);beta_m=beta_m+beta_1;if(beta_m>beta_1){be
6、ta_1=beta_1;beta_501=beta_m;}else{beta_1=beta_m;beta_501=beta_1;}printf("λ1t=%.12et",beta_1);for(i=0;i<501;i++)B[i]=A[i]-beta_1;beta_501=mifa(B)+beta_1;printf("λ501=t=%.12et",beta_501);beta_s=fanmifa(A);printf("λst=%.12et迭代次数：%d",beta_s,j);for(k=1;k<=39;k++){mu=beta_1
7、+k*(beta_501-beta_1)/40;for(i=0;i<501;i++)B[i]=A[i]-mu;beta_k=fanmifa(B)+mu;printf("λi%dt=%.12et迭代次数：%d",k,beta_k,j);}printf("cond(A)2=%.12e",beta_1/beta_s);printf("detAt=%.12e",det(A));return0;}doublemifa(doublea[501])//幂法{inti=0,r;doubleb=0.16,c=-0.064;doubleu[501],y[5
8、01];doubles,lastbeta,beta,sq;for(i=0;i<5
