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1、用法向量求空间的角与距离一、用法向量求空间的角（1）求直线与平面所成的角设直线与平面α的夹角为θ，是直线的一个方向向量，是面α的一个法向量，则，（2）求二面角设二面角的大小为，分别是面的一个法向量，则与相等或互补，再结合题目条件就能确定的大小。二、用法向量求空间的距离（1）求两异面直线的距离设是两条异面直线，是的公垂线段的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则（2）求点到面的距离设是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的三、实际运用例1：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直
2、角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G（1）求A1B与平面ABD所成的角的大小；（2）求点A1到平面AED的距离。4（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，原点为C点，设AC＝则C（0,0,0）、A（2a,0,0）、B（0,2a,0）、D(0,0,1)、A1(2a,0,2)、E(a,a,1)、G(,,)，设平面ABD的一个法向量为。∵＝＝且平面ABD，∴且，∴且∴，又∵＝且⊥平面ABD，∴∴∴。∴。设A1B与平面ABD所成的
3、角为θ，∴，即（此题用传统方法解题思路不易获得，但用法向量则自然、简便，显示了用法向量解立体问题的魅力。）（2）解：设平面ADE的一个法向量为，且。故有且即，解得，，∴。4设A1点到平面AED的距离为，则。例2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。（分析：此题是一道典型的难以找到公垂线的例子，通常可转化为三棱锥等积求高的方法。用法向量的方法就很方便。）解：以B1为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)、C(0,1,1)，A1(1,0,0)、D(1,1,1)
4、、于是＝(－1,1,0)，＝(0,－1,－1)，设异面直线DA1与AC的方向向量，则，即，，∴。C、D分别是异面直线DA1与AC上的点，且＝(1,0,0)，所以异面直线DA1与AC的距离为例3：在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,0,1)、S(0,0,1)，面SAB的一个法向量＝(,0,0)。设是平面SCD的一个法向量
5、，则即，4又，，∴∴，且，∴。取，得，＝。设二面角为θ，∴（此题所求的二面角是一个无棱二面角，对于这种问题，用空间向量解时，不需作出二面角的平面角，从而体现了法向量的灵活性。）例4：在如图的试验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持不变，记CM＝BN＝。（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。解：（1）以点B为坐标原点建立坐标
6、系，得下列坐标：B(0,0,0)、A(1,0,0)、C(0,0,1)、F(1,1,0)、M(a,0,1－a)、N(a,a,0).＝（2）当时，MN的长最小。（3）当时，MN的中点为G（，，），所求二面角的余弦值4
