向量法解立体几何

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1、3.2.5立体几何中的向量方法（五）空间“综合”问题复习引入如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【课后作业】zxyF1F2F3ACBO500kg例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，

2、才能提起这块钢板？F1F3F2F1F2F3ACBO500kgF1F3F2例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEFXYZG(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB

3、-D的大小。ABCDPEFXYZ当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”<>=π—θ（或θ），abCDABCD为a,b的公垂线则A，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为a的法向量异面直线间的距离即间的距离可转化为向量在n上的射影长，zxyABCC1即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1xyzABCDE2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成角为，且，求四面体DABC的体积。3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且

4、平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=（1）求MN的长；（2）a为何值时？MN的长最小？（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。ABCDEFMN4、如图6，在棱长为的正方体中，分别是棱AB,BC上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。O’C’B’A’OABCEF图6O’C’B’A’OABCEF图65、如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b,且求（1）的

5、长；（2）直线与AC夹角的余弦值。ABCD