资源描述：
《n维向量及其运算 向量组的线性相关性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一.n维向量空间分量为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，1.n维向量定义：n个有次序的数所组成的有序数组称为一个n维向量。这n个数称为该向量的n个分量，第个数称为第个分量。以后我们用小写希腊字母来代表向量。例如：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量向量通常写成一行：有时也写成一列：称为行向量。称为列向量。分量全为零的向量称为零向量。2.向量的运算和性质向量相等：如果n维向量的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为向量加法：向量称为向量的和，记为负向量：向量称为向量的负向量向量减法：数乘向量：设k为实数，向量称为向量与数k
2、的数量乘积。记为满足运算律：注：（1）对任意的向量存在唯一的零向量使得（2）对任意的向量存在唯一的负向量使得（4）如果则（3）确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？思考题若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一、线性表示向量组,,…， 称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可
3、以构成一个矩阵.线性方程组向量间的线性运算关系：方程1加方程2可以消去方程3，说明方程3多余．定义１任意一个n维向量a都能由n维单位坐标向量组e1,e2,…,en线性表示.定义2设两个n维向量组a1,a2,a3,……,as(II)b1,b2,b3,……,bt如果(I)组中每一个向量ai(i=1,2,…,s)都能由向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以由向量组(II)线性表示.如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价.例如，对于向量组a1=(1,0),a2=(0,1)(II)b1=(1,1),b2=(2,3)易证a1=3b1-b2,a2=-
4、2b1+b2b1=a1+a2,b2=2a1+3a2由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价向量组的等价具有性质：自反性任一向量组与其自身等价.对称性若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)也与(I)等价.3.传递性若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价.满足注意定义3则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．二、线性相关性方法 从定义出发整理得线性方程组三、线性相关性的判定例１研究下列向量组的线性相关性解:整理得到线性相关性在线性方程组中的应用解例2解例3证定理2向量组（当时）线性相关的充分必要条
5、件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数 使因中至少有一个不为0，不妨设 则有即能由其余向量线性表示.证毕.定理3说明说明定理4设向量组a1,a2,a3,…,as线性无关，如果向量组a1,a2,…,as,b线性相关，那么b必能由a1,a2,…,as线性表示，而且表达式是唯一的.证：因线性相关，则有不全为0的数 使因中至少有一个不为0，故则即能由其余向量线性表示.若 则有且中至少有一个不为0，从而线性无关
6、，矛盾下面证的表达式是唯一的.因为线性无关，所以如果１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答
