梁昆淼 第12章 数学物理方法

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1、(MethodofGreenFunction)Introduction第十二章格林函数法行波法无界空间波动问题，有局限性分离变量法格林函数法直接求特解，各种定解问题，解一个含有格林函数的有限积分各种定解问题（有界），其解为无穷级数1格林（Green）函数：又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一乔治·格林(GeorgeGreen,1793—1841)英国的数学物理学家。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所

2、产生的场212.1泊松方程的格林函数法一、解方程的基本思路1、泊松方程的求解问题，能否化为简单方程求解?2、实际物体的场能否用点源场的叠加表示出来？3、点源的场满足的方程是否为易于求解的方程？4、物体的形状毕竟影响场的情况，物体的表面在求解场的函数中一定有所体现?3单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量单位时间内V内各源头产生的流体的总量上具有连续一阶导数,在区域及其边界和而在中具有连续二阶导数，二、数学上的格林公式应用矢量分析的高斯定理4将对曲面的积分化为体积分同理有第一格林公式第一格林公式5上述两式相减得到第二格林公式第

3、一格林公式表示沿边界的外方向求导数6三泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题(1)泊松方程边界条件是区域边界上1.泊松方程的求解：给定的函数对应第一类边界条件对应第二类边界条件对应第三类边界条件7（2）点源函数满足的场方程：为位于点，电量为-ε0的点电荷在点产生的场（电势）（3）泊松方程解的积分公式：——泊松方程的解，物体的场——特殊方程的解，点源的场8在去掉含有点源的体积中积分有：T0(1)—(2)式9应用第二类格林公式将左边的体积分化为面积分(3)上式右端10(3)

4、上式左端第二项面积分(3)式改写为：11泊松方程解的基本积分展式需要知道u以及əu/ən在∑上的表示。而实际问题中，只能知道它们两者之一。因此，还不能利用上式解决三类边值问题。怎样解决？让Green函数受边界条件的影响12四泊松方程解的简化：——具有实际意义的解令格林函数满足一定的边界条件相应的格林函数是下列问题的解：(1)满足第一类齐次边界条件：13(2)满足第二类齐次边界条件：相应的格林函数是下列问题的解：14(3)满足第三类齐次边界条件：相应的格林函数是下列问题的解：方程(2)两边同乘G，方程(4)两边同乘u，然后相

5、减得1516典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题引入：为了求解定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：小结17在物体内部（T内）r0处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零,那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数。解的基本思想：引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题。一般后者的解容易求得格林函数的物理意

6、义：18格林函数互易定理：因为格林函数代表处的脉冲（或点源）在处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离的函数，故它应该遵守如下的互易定理：利用格林函数的互易性，可得到泊松方程的解19利用格林函数的互易性，可得到第一类边值问题的解利用格林函数的互易性，可得到第三类边值问题的解20对于泊松方程第一边值问题的解为第三边值问题的解为对于拉普拉斯方程21§12.2用电像法求格林函数无界区域的格林函数1一般边值问题的格林函数G的处理：将一般边值问题的格林函数G分成两部分：使满足这样可以使G1带有G的边值条件，而G0不具有边界条

7、件，成为无界问题无界区域的格林函数成为相应方程的基本解222无界区域格林函数的解——基本解对于点电荷知，-ε0的点电荷在无界空间的电势为：所以，可以给出无界空间格林函数在二维极坐标系下，可以给出下面具体推导一下:23三维球对称对于三维球对称情形，先选取对式两边在球内积分高斯定理即点源位于坐标原点处24选点源位于坐标原点处25选点源位于坐标原点处若点源位于任一点，对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为从而得到三维无界区域问题的解为代入(12.1.11')上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式26二维轴对称情形用单位长的圆

8、柱体来代替球，积分在单位长的圆柱体内进行，即由于只是垂直于z轴，且向外的分量所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只有沿侧面的积分27选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果令积分常数为0，得到因此二维轴对称情形的格林函数为28得到二维无界区域的解为二维轴对称情形的格林函数为代入(12.1.11