梁昆淼-数学物理方法第7章.ppt

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1、第七章数学物理方程定解问题7.2定解条件7.3数学物理方程的分类(自学）§7.1三类数学物理方程的导出第二篇数学物理方程7.4达朗贝公式、定解问题（一）、梯度矢量令§7.1三类数学物理方程的导出有时记记（二）、三类数学物理方程的导出1、弦的横振动xx+xxy弦的横向位移为u(x,t)考虑小振动xx+xxyxx+xxy记例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度转动，试推导此绳相对于水平线的横振动方程xx+xxy弦的横向位移为u(x,t)xylxx+x整理得：2、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段t时刻，A段伸长t时刻，

2、B段伸长相对伸长事实上，相对伸长是位置的函数，如相对伸长由虎克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为B段运动方程为B段运动方程为记3、扩散方程由于浓度不同引起的分子运动扩散流强度q，即单位时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度u(单位体积内的粒子数）的下降成正比D为扩散系数负号表扩散方向与浓度梯度相反大小x方向左表面，dt时间流入六面体的流量为流出六面体的流量为x方向左表面，单位时间流入六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为净流入量为x方向净流入量为y方向净流入量为z方向净流入量为立方体净流入量为如立方体内无源和汇dt时间内粒子增加数为D

3、=恒量，令a2=D一维若单位时间内单位体积中产生的粒子数为F=(x,y,z,t)与u无关若单位时间内单位体积中产生的粒子数为b2u3‘、热传导方程设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热u(x,t)为x处t时刻温度，为杆密度xxx+x（1）、dt时间内引起小段x温度升高所需热量为xxx+x（2）、Furiers实验定理：单位时间内流过单位面积的热量q(热流强度量）与温度的下降成正比nnk为热传导系数一维情况下如图有大小x方向左表面，dt时间流入圆柱体的热量为dt时间流出圆柱体的热量为xxx+xdt时间净流入的热量为4、泊松

4、方程电通量的高斯定理称为泊松方程称为泊松方程称为Laplace方程对于稳定浓度分布有为泊松方程为Laplace方程5、稳定浓度分布和若若7.2定解条件对于输运方程（一）、初始条件初始条件要求已知对于弦振动方程初始条件要求已知位移满足速度满足x=l/2xyx=lhx0位移满足速度满足（二）、边界条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件如两端固定弦,端点位移x=l/2xyx=lhx0（1）、第一类边界条件如细杆热传导端点温度l0x（如扩散端点浓度）A）、如细杆的纵振动，x=a处受力f(t)（2）、第二类边界条件如杆端自由f(t)=0a0x如细杆热

5、传导端点有热量流出如细杆热传导端点有热量流入B）、热传导0xa如细杆热传导，一端自由冷却则热流强度与杆端u

6、x=a和周围介质温度差有关系（3）、第三类边界条件0xax=0处0xa（三）、衔接条件x0xy0例：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的边界条件。解：xy阳光照射，流出圆柱的热量为由于温度梯度，流出圆柱的热流为xy设柱面外温度为u0柱面温度u

7、=a由牛顿冷却定律令当M=0，m=0xy例：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密度分别为kI,cI,I,kII,cII,II,

8、初始温度为u0,然后保持两端温度为零，写出热传导问题的定解方程。解：第一段第二段衔接条件：温度相等热流相等7.4达朗贝公式、定解问题（一）、达朗贝公式考虑弦的振动方程表示为：或：令：令：对积分再积分表示以速度a沿x正负方向的行波函数f1和f2的确定考虑定解问题求导有积分有例：求定解问题例：求定解问题例：求一端固定弦的振动情况（反射波定解问题）代入初始条件Ox（二）、端点反射代入边界条件令（1）、xat,即x-at0（2）、xat,即x-at0物理意义：为讨论方便计设初速为0解与达朗贝尔解一致，说明端点的影响未传到。Oxx=0处为波节。x=

9、0处入射波与反射波位相相反，有半波损失。为入射波。为反射波。（三）、延拓半无限长问题求解中有提示无限长杆u(x,t)是奇函数提示无限长杆初始位移(x)和初始(x)是奇函数称为沿拓例：求解半无限长问题杆端点自由，相对伸长量为0提示无限长杆u(x,t)是偶函数提示无限长杆初始位移(x)和初始(x)是偶函数沿拓例：求定解问题考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波沿x正向解：由边界条件令其中若（四）、达朗贝解的适定性考虑初始条件有两组，差别微小(x)有直到二阶导数，(x)有直到一阶导数，达朗贝解存在1、达朗贝解的存在性2、达朗贝解的稳定性达朗

10、贝解的稳定解：或：例：求定解问题方程变化为令令：其中A、B为常数修改为代入边界条件令：解：例：求定解问题方程（1）对t求导