梁昆淼 数学物理方法第9章.ppt

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1、第九章二阶常微分方程级数解法变换法本征值问题9.2特殊函数常微分方程§9.1正交曲线坐标系9.3常点邻域的级数解法9.4正则奇点邻域上的级数解法9.5施图姆—刘维本征值问题对于圆的Dirichlet问题，其边界条件若分离变量则但若选极坐标§9.1正交曲线坐标系边界条件分离不出来则边界条件能分离出来若以q1,q2,q3正交坐标，则它与直角坐标的相互关系为如（1）、柱坐标1、正交曲线坐标系（1）、柱坐标其中（2）、球坐标其中（1）、柱坐标2、正交曲线坐标系中的u直角坐标系中类似有上面第一式两边除以2在柱坐标系中直角坐标系中在柱坐标系中直角坐标系中在极坐标系中（2）、球坐标系中9.2特

2、殊函数常微分方程（1）、球坐标系（一）、Laplace方程u=0首先试图将此变量变r与和分离代入令化简为两个方程两边除以R，Y，乘以r2上边第一式化为是欧拉型常数方程，令称为球函数方程称为球函数方程令接着试图将变量和分离代入用除以两边用除以两边令令令令令该方程称为连带勒让德方程如m=0称为勒让德方程球坐标系连带勒让德方程（2）、柱坐标系试图将变量变与和z分离代入用除以两边代入令令用除以两边代入令令令即即称为贝塞尔方程即称为虚宗量贝塞尔方程柱坐标系考虑三维波动方程（二）、波动方程首先试图将时间变量t与空间变量r代入令简化为令分解为第一个方程的解为称为亥姆霍兹方程考虑三维输

3、运方程（三）、输运方程首先试图将时间变量t与空间变量r代入令简化为令分解为第一个方程的解为为亥姆霍兹方程（1）、球坐标系（三）、亥姆霍兹方程首先试图将此变量变r与和分离代入两边除以R，Y，乘以r2令化简为两个方程上边第一式化为这称为l阶球贝塞尔方程称为球函数方程令若k=0l阶球贝塞尔方程退化为欧拉型方程l阶球贝塞尔方程l阶球贝塞尔方程为l+1/2阶贝塞尔方程l阶球贝塞尔方程连带勒让德方程（2）、柱坐标系试图将变量变与和z分离代入用除以两边代入令令代入令令为m阶贝塞尔方程令代入若为m阶贝塞尔方程m阶球贝塞尔方程退化为欧拉型方程为m阶贝塞尔方程m阶贝塞尔方程退化为欧拉型方程9.3

4、常点邻域的级数解法考虑二阶常微分方程初始条件为可以用级数求更一般，对于复变函数w(z)初始条件为z为复变函数,z0为选定点，C0，C1为复常数若p(z)和q(z)在点z0的邻域内解析，z0称为方程的常点若z0是p(z)和q(z)的奇点，z0称为方程的奇点对于常点邻域内解析的情形，可用级数解法求解其中ak有待确定（1）、勒让德方程的级数解即在x0=0的邻域内解析,可以用级数求勒让德方程或令代入有即比较各次幂系数有从而可得外推外推将以上系数代入得其中将以上系数代入得其中（2）、解的收敛性利用达朗贝尔判别法有说明收敛说明发散可以证明在（3）、勒让德多项式由于勒让德方程的级数解若能退化为多项

5、式，则发散问题解决考虑到若取则y0(x)只到x2n项因为被称为l阶勒让德多项式若取则y0(x)只到x2n项因为但可取则y1(x)仍发散从而将l限制在0或正整数，使“解在x=1保持有限“，称为勒让德方程的自然边界条件考虑二阶常微分方程9.4正则奇点邻域上的级数解法若z0是p(z)和q(z)的奇点，z0称为方程的奇点，解也以方程为奇点，则在存在两个线性独立解或（一）、正则奇点邻域上的级数解存在两个线性独立解或在若存在的两个线性独立解为有限个负幂项，称z0为方程的正则奇点考虑p(z)以z0为不高于一阶极点，q(z)以z0为不高于二阶极点，则可以证明z0为方程的正则奇点有或或其中s1和s2

6、是如下判定方程的两个根取若s1—s2整，则取第一个w2(z)等式，否则取第二个的证明代入的证明考虑z的最低幂次zs-2考虑阶贝塞尔方程（二）、阶贝塞尔方程p(z)以x0=0为一阶极点，q(z)以x0=0为二阶极点判定方程代入（1）、阶贝塞尔方程考虑阶贝塞尔方程代入先取s1=代入阶贝塞尔方程先取s1=代入阶贝塞尔方程即即比较各次幂系数有得其中而故只要x有限，级数收敛（2）、解的收敛性利用达朗贝尔判别法有故只要x有限，级数收敛（3）、贝塞尔函数有取称为贝塞尔函数表示为阶贝塞尔函数同理有用阶贝塞尔方程的通解为J和J-称为第一类柱函数当m时，J和J-线性无关

7、当=m时，J和J-线性相关证明如下：（4)、整数m阶贝塞尔方程令k-m=l,因为k-m+1>0故当=m时，J和J-线性相关需要寻找另一与Jm无关的解取阶贝塞尔方程的一个特解为称为阶诺伊曼函数阶诺伊曼函数为第二类柱函数阶贝塞尔方程的通解可取为但当=m时C为欧拉常数考虑(l+1/2)阶贝塞尔方程取l=0代入=1/2（5)、（l+1/2)阶贝塞尔方程1/2阶贝塞尔函数1/2阶贝塞尔函数s1—s2=1第二个特解应为但可试着用=-1/2代入