超经典平方根和立方根个性1对1

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1、一.教学内容：平方根和立方根1.平方根、立方根的概念和性质；2.算术平方根，算术平方根的非负性的应用．二.知识要点：1.平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：x2＝a，x叫a的平方根．（2）数a（a≥0）的平方根记作±，读作“正负根号下a”，其中表示a的正的平方根，－表示a的负的平方根；“”实际上省略了中的2，2叫做根指数，a叫做被开方数．2.平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3.算术平方根一个

2、正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．(a≥0)，≥04.立方根的概念如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即：x3＝a，则x叫做a的立方根，表示为．5.立方根的性质（1）一个正数有一个正的立方根．（2）一个负数有一个负的立方根．（3）0的立方根是0．6.互为相反数的立方根之间的关系：互为相反数．例如8的立方根为2，而－8的立方根为－2。＝－，

3、也就是说一个负数的立方根，可以先求它的相反数的立方根，再取相反数．7.开方：（1）求一个数的平方根的运算叫开平方（2）求一个数的立方根的运算叫开立方．8.常见的非负数的类型：︱a︱，a2，(a≥0)9.注意事项（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a的算术平方根是，而平方根是±．（2）计算化简时要谨慎细心，如求的平方根，需先算出＝9，求的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．三.重点难点：1.重点：①平方根、立方根的概念和性质；②算术平方根．2

4、.难点：①平方根、立方根的概念和性质；②算术平方根．【考点分析】平方根和立方根是实数知识的基础，中考中多在填空题和选择题中出现，用来考查它们的概念、性质、简单的运算．所以我们要准确掌握平方根、立方根的概念和性质，以及算术平方根（a≥0）的非负性．【典型例题】例1.（1）（2007年宜昌）25的算术平方根是（）A.5B.C.－5D.±5（2）（2008年哈尔滨）9的平方根是（）A.3B.±3C.－3D.81（3）（2008年北京）若︱x＋2︱＋＝0，则xy的值为（）A.－8B.－6C.5D.6（4）（20

5、07年安顺）的平方根是__________．分析：（1）由平方根、算术平方根概念可知25的算术平方根表示为，化简得5，故选A.（2）9的平方根表示为±，得±3．对于（3）中利用非负数的性质得x＋2＝0，y－3＝0，x＝－2，y＝3，可求得xy＝－6，故选B.（4）一定注意不是求16的平方根，而是求的平方根，应首先对进行化简．解：（1）A（2）B（3）B（4）±2评析：根据平方根的意义得出：正数有两个平方根，它们互为相反数，而且其中正的平方根也是这个数的算术平方根，而且由算术平方根的意义可知，表示非负数，

6、在初中阶段常见非负数的类型有：a2、︱a︱、（a≥0）．例2.求下列各式中的x的值．（1）x2－676＝0；（2）9（3x＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x2－676＝0可化为x2＝676，x的值就是676的平方根．（2）可将3x＋1看作一个整体来解，即（3x＋1）2＝，所以3x＋1是的平方根，从而可求出x．解：（1）∵x2－676＝0，∴x2＝676．∴x＝±＝±26．（2）∵9（3x＋1）2＝64，∴（3x＋1）2＝，∴3x＋1＝±＝±，当3x＋1＝时，x＝；当3x＋1＝－时，x

7、＝－．评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例3.如果一个正数的平方根是a＋3和2a－15，求a的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a＋3和2a－15互为相反数，故有a＋3＋（2a－15）＝0，从而可以解得a，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a＋3）＋（2a－15）＝0，解得a＝4．当a＝4时，a＋3＝7，

8、2a－15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a的一元一次方程，解方程求出a的值，从而求出这个正数．例4.比较大小：（1）（2008年桂林）3和（2）2和14（3）和分析：（1）由于＝3，而9＜10，所以3＜；（2）由于＞＝7，易得2＞2×7；（3）中由中2－a≥0得到a的取值范围是a≤2，所以a－4＜0，那么为负数，因而＜．解：（1）∵＝3，9＜10，