平方根和立方根经典讲义.docx

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1、早期教育的黄埔军校中小学培优专业机构英才施教成就英才平方根和立方根中考要求内容基本要求较高要略高要求求平方根、算了解平方根及算术平方根的概念，会用根术平方根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立立方根方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算知识点睛实数可按下图进行详细分类：正整数整数0有理数负整数有限小数或无限循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论)平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方

2、根．也就是说，若x2a，则x就叫做a的平方根．一个非负数a的平方根可用符号表示为“a”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为“a”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）初二·实数·学生版page1of7早期教育的黄埔军校中小学培优专业机构英才施教成就英才一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若a0，则a0.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来

3、求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：2⑴当被开方数扩大(或缩小)n倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(n0)．⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若a0，则(a)2a；②不管a为何值，总有a2

4、a

5、a(a0)a(a0)注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a介于另外两个非负数a1、a2之间，即0a1aa2时，它的算术平方根也介于a1、a2之间，即：0a1aa2利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若x3a

6、,则x就叫做a的立方根，一个数a的立方根可用符号表“3a”，其中“3”叫做根指数，不能省略.前面学习的“a”其实省略了根指数“”，即：2a也可以表示为a.23a读作“三次根号a”，2a读作“二次根号a”，a读作“根号a”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)n3倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n倍．⑵3a3a，(3a)3a⑶若一

7、个数a介于另外两个数a1、a2之间，即a1aa2，它的立方根也介于3a1和3a2之间，即3a13a3a2利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重、难点重点：平方根和立方根的基本概念，以及灵活应用初二·实数·学生版page2of7早期教育的黄埔军校中小学培优专业机构英才施教成就英才难点：平方根的性质例题精讲【例1】判断下列各题，并说明理由⑴81的平方根是9．()⑵a一定是正数．()⑶a2的算术平方根是a．()⑷若(a)25，则a5.()⑸93.()⑹6是(6)2的平方根．()⑺(6)2的平方根是6．()⑻若x236，则x366.()⑼若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．()

8、⑽如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等．()⑾算术平方根一定是正数．()⑿a2没有算术平方根．()⒀64的立方根是4．()⒁1是1的立方根．()26⒂3x3x．()⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数．()⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根．()【例2】⑴若a2(2)2，则a；若(x)2(3)2，则x.⑵若x22，则(2x5)的平方根是；若x25，则x.⑶若a21，则a；若a2a0，则a.a⑷当m0，m2的算术平方根是.⑸(ab)2算术平方根是ab，则ab.⑹若一个自然数的一个平方根是m，那么比它大1的自然数的平方根是.⑺平方根等于本身的数

9、是，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是；平方根与立方根相等的数是.【例3】计算下列各题初二·实数·学生版page3of7早期教育的黄埔军校中小学培优专业机构英才施教成就英才⑴1(5x1)230；⑵(100.2x)30.0273⑶31251731351；⑷32160003130.12564168【例4】已知某正数的两个平方根是3a5与a1，求这个正数．【例5】已知(2ab)327，2a3b5，求