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时间:2018-08-31
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1、www.czsx.com.cn【圆】数学思想方法聚焦 一、分类讨论思想 例1 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,求这两圆的圆心距. 分析:已知两圆相交,求两圆圆心距。 解:分两种情况: (1)如图1,设⊙O1的半径为r1=5cm,⊙O2的半径为r2=4cm. 圆心Ol,02在公共弦的异侧. ∵O1O2垂直平分AB,∴AD=AB=3cm. 连O1A、O2A,则. . (cm). (2)如图2,圆心Ol,02在公共弦AB的同侧,同理可求 01D=4cm,02
2、D=(cm).(cm). 点评:①此题为基本题目;②此题未给出图形,所以应分两种情况求解;若题中给出图形,按已知图形分析求解即可;若题中已知的相交两圆是等圆时,两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧.二、方程思想 例2 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,弦CD,AF相交于点G,过点D作⊙-10-www.czsx.com.cnO的切线交AF的延长线于M,且. (1)在图中找出相等的线段(直接在横线上填写,所写结论至少3组,所添辅助线段除外,不写推理过程): . (2)连结AD,A
3、F(请将图形补充完整),若,求AC∶DF的值. 【分析】(1)利用垂径定理易知:CE=DE,而由可知∠C=∠CAG. ∴ AG=CG. 根据相似可求得 CG·DG=AG·GF,可得DG=FG. (2)先根据相似求出CE,得CD,AF,又GD=GF,设EG=x,则AG可用x表示,再用Rt△AEG建立x的方程,求出x,用△AGC∽△DGF得AC与DF的比. 解:(1)CE=DE,AG=CG,DG=FG. (2)连接AC.∵AB⊥CD, ∴EC=ED,AC=AD. 由相交弦定理,得 AE·B
4、E=CE2. ∴CE=3. ∴CD=AF=6. 又∵∠GDF=∠GFD, ∴GD=GF. 设EG=x,则AG=6-(3-x)=3+x. 在Rt△AEG中, -10-www.czsx.com.cn【小结】本题是一道垂径定理,圆周角定理,相交弦定理,切割线定理合为一体的综合题,第(1)问有开放性和探索性,第(2)问运用了方程思想,全面考查了对圆相关知识的认识. 三、代数思想 例3 如图所示,⊙O的直径AB⊥CD,E为OD的中点,AE交⊙O于点G,CG交OB于点F.求证:OB=3OF.
5、 【分析】确定两条线段之间的倍数关系,一般采用寻找等分点的直接证法和借助中间量的间接证法.根据本题的已知条件,可依据三角形相似比的关系,借助系数k寻求OB、OF的关系. 证明:设半径OA=2k,则OE=ED=k,AB=2OA=4k,OA=OC=OB=2k. 连结DG、BG. 四、运动的思想 例4 已知:如图,⊿ABC的外部有一动点P(不能在直线BC上),分别连结PB、PC,试确定∠BPC与∠BAC的大小关系. 分析:-10-www.czsx.com.cn∠BPC与∠BAC之间没有联系
6、,要确定∠BPC与∠BAC的大小关系,必须找恰当的载体,作为它们之间的桥梁,这道桥梁就是圆,通过构造⊿ABC的外接圆,问题就会迎刃而解. 解:如图弧BAC和弧BMC是包含圆周角等于∠BAC的两段弧(∠BMC=∠BAC),1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时,∠BPC<∠BAC;2.当点P在弧BAC和弧BMC上时,∠BPC=∠BAC;3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时,∠BPC>∠BAC. 证明:1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时,如
7、图1,连结BD,根据外角大于任何一个与它不相邻的内角,∠BPC<∠BDC,又∵∠BDC=∠BAC,∴∠BPC<∠BAC,(若点P在BC下侧的弓形BAC和弓形BMC外时,同法可证出∠BPC<∠BMC即∠BPC<∠BAC);2.当点P在弧BAC和弧BMC上时,如图2,根据同弧所对的圆周角相等,∠BPC=∠BAC(若点P在弧BMC上时,同法也可证得∠BPC=∠BMC=∠BAC);3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时,如图3,延长BP交⊿ABC外接圆于点D,连结CD,∠BPC>∠BD
8、C,又∵∠BDC=∠BAC,∠BPC>∠BAC,(若点P在弓形BMC内且在⊿MBC外时,同法也可证出∠BPC>∠BMC即∠BPC>∠BAC). 五、割补思想 例5 如图,将半径为2cm的⊙O分割成十个区域,其中弦AB、CD关于点O对称,EF、GH关于点O对称,连接PM,则图中阴影部分的面积是_____cm2(结果用π表示). 解析:如图,根据对称性可知:S1=S2,S3=S3,S5=S6,S7=S8,因此阴影部分的面积占整个圆面积的,应为:(cm
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