2019届河北省中考系统复习:第18讲相似三角形(8年真题训练)

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1、第18讲 相似三角形                  命题点 相似三角形的性质与判定1.(2017·河北T7·3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A.增加了10%B.减少了10%C.增加了(1+10%)D.没有改变2.(2011·河北T9·3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处.若A′为CE的中点,则折痕DE的长为(B)A.B.2C.3D.43.(2014·河北T13·3分)在

2、研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.       图1          图2对于两人的观点,下列说法正确的是(A)A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对4.(2016·河北T15·2分)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三

3、角形与原三角形不相似的是(C)                            重难点 相似三角形的性质与判定 在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B.8(1)如图1,当射线DN经过点A时,DM交边AC于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形;(2)如图2,将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于点E,F(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论;(3)在图2中,若AB=AC=10,BC=12,当S△DEF=S△

4、ABC时,求线段EF的长.【思路点拨】(1)由题意得AD⊥BD,DE⊥AC,可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究;(2)依据三角形内角和定理及平角定义,结合等式的性质,得∠BFD=∠CDE,又由∠B=∠C,可得△BDF∽△CED;由相似三角形的性质得=,进而有=,从而△CED∽△DEF;(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的,求出点D到AB的距离,进而利用S△DEF的值求出EF即可.【自主解答】解:(1)图1中与△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE.(2)△BDF∽△CED∽△DEF.证明:∵∠B+

5、∠BDF+∠BFD=180°,∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°,又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE.由AB=AC,得∠B=∠C,∴△BDF∽△CED.∴=.∵BD=CD,∴=.又∵∠C=∠EDF,∴△BDF∽△CED∽△DEF.(3)连接AD,过点D作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分别为G,H.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,BD=BC=6.在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2,∴AD=8.∴S△ABC=BC·AD=48.S△DEF=S△ABC=12.又∵AD·BD=AB·DH,∴DH=4.8.∵

6、△BDF∽△DEF,∴∠DFB=∠EFD.∵DG⊥EF,DH⊥BF,∴DH=DG=4.8.∵S△DEF=EF·DG=12,∴EF=5.【变式训练1】(2018·杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.  解:(1)证明:∵AB=AC,BD=CD,8∴AD⊥BC,∠B=∠C.∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC.∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.在Rt△ADB中,AD==12,

7、∵AD·BD=AB·DE,∴DE=.基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论:①∠BAD=∠C,∠B=∠DAC;②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论:①∠B=∠C,∠BDE=∠DFC;②△BDE∽△CFD.特殊地:若点D为BC中点,则有△BDE∽△CFD∽△DFE.“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景:图中相同标识符号的角相等,熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助.【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中,AB=4,点P,Q分别在直线CB与

8、射线DC上(点P不与点C,点B重合),且保持∠APQ=90°,CQ=1,求线段BP的长.解:分三种情况:设BP=x.①当P在线段BC上时,如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°.∴∠BAP+∠APB=90°.∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠CPQ=90°.∴∠BAP=∠CPQ,∴△AB

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