向量组与矩阵的秩（1）ppt课件

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1、多媒体教学课件华南农业大学理学院应用数学系2021-6-29Spring2010,17ppt1第2.3节向量组与矩阵的秩如何判断向量组是否线性相关？2021-6-29Spring2010,17ppt2A(a)矩阵,在A中任取k行k列,由这些行列相交ijmn处的元素按原来的相对位置构成的k阶行列式,称为A的k阶子式,若A是一个n阶方阵,则只有一个n阶子式,就是A的行列式aa...a11121naa...a21222n

2、A

3、=............aa...an1n2nn2021-6-29Spring2010,17ppt3定义2.6矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩

4、(rank),记为R(A).对n阶方阵,如果

5、A

6、0则称A为满秩矩阵;否则，称A为降秩矩阵.另外，零矩阵的秩为0.2021-6-29Spring2010,17ppt4如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式都为0，则矩阵A的秩等于r.例求矩阵的秩123A235471解12在A中，容易看出一个2阶子式023A的三阶子式只有一个A经计算可知A0因此R（A）=2。2021-6-29Spring2010,17ppt5推论2.1任意m(m>n)个n维向量线性相关.（注：由于没有m阶子式，故R(A)

7、由它们组成的mn矩阵的秩为m(mn).推论2.3n个n维向量线性无关（相关）的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).2021-6-29Spring2010,17ppt8定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线性相关。1212111112矩阵A232131315012可验证:R(A)=2,这里A的2阶子式D1011因此,包含D的两个向量,线性无关,12,,,中任意3个向量都线性相关。12342021-6-29Spring2010,17ppt9有没有

8、更简单的方法来计算矩阵的秩？实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型矩阵，就可较快求出矩阵的秩。2021-6-29Spring2010,17ppt10定义2.7设A为mn矩阵，若A满足下列三个条件：1a11,a22,,amm以下的元全为零；2每一行的第一个非零元前面的零元个数大于前一行这种零元的个数；3如果某一行的元全为零，则以下所有行的元全为零。则称A为行阶梯形矩阵。2021-6-29Spring2010,17ppt11例如12-8103-290040300

9、481都是行阶梯型矩阵。005800024000-2，000002021-6-29Spring2010,17ppt12定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。100001000010000101都是行最简矩阵。0010000140001，000002021-6-29Spring2010,17ppt13定理2.6矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩阵的非零行的行数。例2.6计算前面矩阵A的秩.解：对系数矩阵A进行初等行变换：1212

10、112121r2r111112r32r101031Ar4r12321301031131500103112121rr3201031r4r20000000000容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2,因此R(A)=2.2021-6-29Spring2010,17ppt14定义2.8设有向量组T,如果:(1)在T中r个向量,,线性无关;12r(2)T中任意r1个向量(如果有的话)都线性相关.则称,,是向量组T的一个最大线性无关向量组,12r简称最大无关

11、组,数r称为向量组T的秩.定理2.7:矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。2021-6-29Spring2010,17ppt15例2.7:求下列向量组的一个最大无关组，并把其它向量用此最大无关组线性无示。＝（2，1，4，3）;＝（-1，1，-6，6）;12＝（-1，-2，2，-9）;＝（1，1，-2，7）;34＝（2，4，4，9）;5解：把它们按列排成矩阵A，对A施初等行变换化为行最简型矩阵21112101041121401103A=462