线性代数 2.3向量组与矩阵的秩

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1、第2.3节向量组与矩阵的秩如何判断向量组是否线性相关？7/17/20211Spring2010,17ppt7/17/20212Spring2010,17ppt定义2.6矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩(rank),记为R(A).则称A为满秩矩阵;否则，称A为降秩矩阵.另外，零矩阵的秩为0.对n阶方阵,如果7/17/20213Spring2010,17ppt如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式都为0，则矩阵A的秩等于r.例求矩阵的秩解在A中，容易看出一个2阶子式A的三阶子式只有一个经计算可知因

2、此R（A）=2。7/17/20214Spring2010,17ppt7/17/20215Spring2010,17ppt分析：7/17/20216Spring2010,17ppt推论2.1任意m(m>n)个n维向量线性相关.（注：由于没有m阶子式，故R(A)

3、线性方程组：分析：系数对应的4个向量分别为：7/17/20218Spring2010,17ppt可验证:R(A)=2,这里A的2阶子式因此,包含D的两个向量7/17/20219Spring2010,17ppt考虑到(2.7)式将(2.8)变形为：由于系数行列式不等于0，由G.Cramer法则可以得到方程组(2.8)的解为：7/17/202110Spring2010,17ppt有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改变矩阵的秩

4、，因此，可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵，就可较快求出矩阵的秩。7/17/202111Spring2010,17ppt例2.6,计算例2.5中系数矩阵A的秩.解：对系数矩阵A进行初等行变换：容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2,因此R(A)=2.定理2.6矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩阵的非零行的行数。7/17/202112Spring2010,17ppt例2.5中齐次线性方程组(2.6)的解有无穷多个，那么这些解与解之间有没有内在的联系呢？定义2.7设有向量组T,如果:7/17/202113Spring2010

5、,17ppt7/17/202114Spring2010,17ppt7/17/202115Spring2010,17ppt7/17/202116Spring2010,17ppt定理2.8设有向量组T,如果：一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可以保证它们都含有相同个数的向量.7/17/202117Spring2010,17ppt练习1.解.7/17/202118Spring2010,17ppt2.解.7/17/202119Spring2010,17ppt3.设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属

6、于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。7/17/202120Spring2010,17ppt而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，故a1,a2,a4为列向量组的一个最大无关组。知R(A)=3,故列向量组的最大无关组含3个向量。这是因为7/17/202121Spring2010,17ppt线性表示，把A再变成行最简形矩阵。7/17/202122Spring2010,17ppt4.求A的列向量组的一个最大无关组及A的其余列向量用它们线性表示的表达式。解对A施行初等行变换变为行阶

7、梯形矩阵。唯一)。且有：为A的列向量组的一个最大无关组(不7/17/202123Spring2010,17ppt作业P632.1:(3),(4).2.2:(2).2.9:(2).7/17/202124Spring2010,17ppt