《向量组与矩阵的秩》PPT课件

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1、第三章向量组与矩阵的秩§1n维向量§2线性相关与线性无关§3线性相关性的判别定理§4向量组的秩与矩阵的秩§5矩阵的初等变换§6初等矩阵与求矩阵的逆§7向量空间1向量：既有大小又有方向的量.向量表示：零向量：模长为0的向量.

2、

3、向量的模：向量的大小.从二维、三维向量谈起或或单位向量：模长为1的向量.或2定义1n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）称为一个n维向量，简称向量。用小写的粗黑体字母来表示向量。行向量列向量§1n维向量3数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量

4、称为复向量。n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。设k和l为两个任意的常数，为任意的n维向量，其中4定义2如果和对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就称这两个向量相等，记为定义3向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）称为与的和，记为。称向量（ka1,ka2,…,kan）为与k的数量乘积，简称数乘，记为。5定义4分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0。与-1的数乘（-1）=（-a1,-a2,…,-an）称为的负向量，记为。向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质：6满足（1）—（8）的运算称为线

5、性运算。7例1设3(1-)+2(2+)=5(3+),其中1=(2,5,1,3),2=(10,1,5,10),3=(4,1,-1,1).求.解：31-3+22+2=53+56=31+22-53=1/21+1/32–5/63=(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6)=(1,2,3,4)8矩阵与向量的关系：n维列向量组可以排成一个n×s矩阵其中为由B的第j行形成的子块，称为B的列向量组。§2线性相关与线性无关通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维

6、行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵其中为由A的第i行形成的子块，称为A的行向量组。9定义5向量组称为线性相关的，如果有不全为零的数k1,k2,…,ks，使反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就称线性无关。当是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使10当为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵，使11例1判断向量组的线性相关性。解对任意的常数k1,k2,…,kn，令所以当且仅当k1=k2=…=kn=0因此线性无关。12例2讨论向量组1321=a1212=a-1233=a的线性相关性。解对任意的

7、常数k1,k2,k3，令0221133kkk=++aaa即213kkk=0312-111223++=+=+002131kkkk2+23k=+021kk-3k22k+33k1=-4,k2=5,k3=1所以a1,a2,a3线性相关.13例3设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。证对任意的常数，令设有k1,k2,k3,使由线性无关，故有由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以线性无关。14一般地,判断一个向量组1,2,…,m线性相关的基本方法和步骤是:1)假定存在一组数k1,k2,…,km，使k11+k22+…+kmm=0

8、;2)应用向量的线性运算和向量相等的定义,找出含未知量k1,k2,…,km的齐次线性方程组;3)判断方程组有无非零解;4)如有非零解,则1,2,…,m线性相关;如仅有零解,则1,2,…,m线性无关.15定义6向量称为向量组1,2,…,t的一个线性组合，或者说可由向量组1,2,…,t线性表出(示),如果有常数k1,k2,…,kt,使=k11+k22+…+ktt.此时，也记例1试问下列向量能否由其余向量线性表示,若能,写出线性表示式:1)=(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3

9、=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1).2)=(1,1,1),1=(0,1,-1),2=(1,1,0),3=(1,0,2);16解：令=k11+k22+k33于是得线性方程组k2+k3=1k1+k2=1-k1+2k3=1解方程组得k1=k3=1,k2=0即=1+02+317定理1向量组（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。证设中有一个向量能由其他向量线性表出，所以线性相关。如果线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,ks，使设k1≠0,那么即能由线性表出。18例如，向量组是线性相关的，因为

10、1一个向量线性相关=0;无关0.两个向量线性相关对应元素成比例;无关