二次根式的运算

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1、二次根式的运算　　第七讲　二次根式的运算　　　式子(≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．　　　(1)(≥0)；　　　(2)()；　　　(3)()；　　　(4)(0)．　　　同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．　　二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．　　例题求解　　【例1】已知，则=　　　．　　　(重庆市竞赛题)　　　思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条

2、件不足，不妨从二次根式的定义入手．　　　注：二次根式有如下重要性质：　　(1)，说明了与、一样都是非负数；　　(2)　(0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；　　(3)，揭示了与绝对值的内在一致性．　　著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．　　【例2】化简，所得的结果为（　）　　　A．B．C．D．　　　(武汉市选拔赛试题)　　　思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．　　　注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为

3、深刻的事实和规律．　　　　【例3】计算：　　（1）；　　（2）；　　（3）；　　．　　　思路点拨若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．　　【例4】(1)化简；(北京市竞赛题)　　(2)计算　(“希望杯”邀请赛试题)　　(3)计算．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)　　　思路点拨（1）把4+2万与4—2分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2与4—2是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含

4、根号、绝对值符号的综合问题．　　　【例5】已知，求的值．　　　(山东省竞赛题)　　思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．　　学历训练　　1．如果，那么=　　．　　　(四川省竞赛题)　　2．已知，那么的值为　　．(成都市中考题)　　3．计算=　　．(天津市选拔赛试题)　　4．若ab≠0，则等式飞成立的条件是　　．(淄博市中考题)　　5．如果式子化简的结果为，则x的取值范围是(　)　　　A．x≤1　B．x≥2　C．1≤x≤2　D．x>0　(徐州市中考题)　　6．如果式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（　　）　　A．　

5、　　B．　　　C．　　　D．　　7．已知，则的值为(　)　　A．　　　B．　　C．　　　D．　　8．已知，那么的值等于（　）　　A．　B．　　C．　　　D．3　　9．计算：　　(1)；　　（2）；(北京市数学竞赛题)　　（3）；　　（4）　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　10．(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；　　(2)设，，n为自然数，如果成立，求n．　　11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台

6、风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．　　（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；　　(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?　　(供选用数据：，)　(贵阳市中考题)　　12．已知，，那么=　　　．(T1杯全国初中数学联赛题)　　13．若有理数x、y、z满足，则=　　．　　(北京市竞赛题)　　14．设，其中a为正整数，b在0，1之间，则=　　．　　15．正数m、n满足，则=　　．　　(北京市竞赛题)　　16．化简等于(　)　　　A．5—4　B．4一1　C．5　D．－1(全国初中数学联赛题)　　17．若，则等于(　)　　　A　B．　C．1　D．－1　　(2

7、004年武汉市选拔赛试题)　　18．若都是有理数，那么和面(　　)　　　A．都是有理数B．一个是有理数，另一个是无理数　　　C．都是无理数&nb