浅谈几何证明题里的中间比

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1、浅谈几何证明题里的中间比关键词:几何证明中间比　　　　初中数学中的平面几何教学中，我们经常碰到一些证等比或等积的证明题，无法从题设条件直接证出结论，由结论中的等比或等积线段，找不出它们所属的两个三角形或相关要素，也就是说证线段所在的两个三角形相似得出结论的路行不通。学生对这样的证明题常常束手无策，就会降低学生的学习兴趣，影响教学效果，其实借助一个“中间比”即第三个比就显得浅显了。　　例如要证:∠1=∠2，若证得∠1=∠3,∠2=∠3，则∠1=∠2；　　要证线段:AB=CD,若证得AB=EF,CD=EF,则AB=CD.　　同理，证等比或等积时，常常要借助第三个比，即“中间比”。从问题涉及的与

2、线段相关的三角形着手，利用平行线分线段成比例定理、相似三角形性质、比例的基本性质等恰当的选择中间比，用等量代换进行转移，从而达到其目的。　　　　例1已知如图1，在ΔABC中，DF∥BC，EF∥DC　　求证：AD2=AE·AB　　证明：∵DF∥BC　　∴AD／AB=AF／AC　　又∵EF∥DC　　∴AE／AD=AF／AC　　∴AD／AB=AE／AD（都等于中间比AF／AC）　　即AD2=AE·AB　　例2已知如图2，AM是ΔABC的中线，DN∥AM交AB,BC分别于点D，N，交CA的延长线于点E。　　求证：AD／AB=AE／AC　　　　证明：∵DN∥AM　　∴AD／AB=MN／MB　　∵EN

3、∥AM　　∴AE／AC=MN／MC　　∵AM是ΔABC的中线　　∴MB=MC　　∴AD／AB=AE／AC（都等于中间比MN/MB）　　已知如图3，BD=CE　　求证：AC·EF=AB·DF　　证明：过点E作EG∥AB交BC于点G　　∵EG∥AB　　∴EC／AC=EG／AB　　∴AC／AB=EC／EG　　又∵EG∥DB　　∴DF／EF=BD／EG　　∵BD=EC∴DF／EF=EC／EG∴AC／AB=DF／EF（都等于中间比EC/EG）即AC·EF=AB·DF　　总之，证明等比或等积时，常常要借助中间比，只要加强训练和辅导，提高学生解决问题的能力，恰当利用等量关系转化，巧妙找到中间比，证明结论

4、，并不困难，该类证明题的教学会提升到一个更高的层次。