2019届高考数学难点突破--基本初等函数：二次函数与幂函数

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1、★精品文档★2019届高考数学难点突破--基本初等函数：二次函数与幂函数二次函数与幂函数【考点梳理】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上减，在

2、－b2a，＋∞上增在－∞，－b2a上增，在－b2a，＋∞上减2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/11★精品文档★对称性函数的图象关于x＝－b2a对称2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域R{y

5、y≥0}R{y

6、y≥0}{y

7、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和

8、(0，＋∞)减公共点(1,1)【考点突破】2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/11★精品文档★考点一、求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式是．[答案]f(x)＝－4x2＋4x＋7[解析]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用

9、顶点式)：设f(x)＝a(x－)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝2＋(－1)2＝12.∴＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/1

10、1★精品文档★又函数的最大值是8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【类题通法】用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下【对点训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式是．[答案]f(x)＝x2－4x＋3[解析]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截

11、得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/11★精品文档★考点二、二次函数的图象与性质【例2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；

12、④5a其中正确的结论是(　　)A．②④B．①④c．②③D．①③[答案]B[解析]∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a故选B.【类题通法】确定二次函数图象的三要点【对点训练】设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)[答案]D[解析]A项，∵a0，∴c>0，由图知f(0)＝c0，∴b

13、>0，又∵2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/11★精品文档★abc>0，∴c0，故B错；c项，∵a>0，－b2a0，又∵abc>0，∴c>0，而f(0)＝c0，－b2a>0，∴b0，∴c【例3】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为(　　)A．2B．－1或－3c．2或－3