线代第三章习题解答

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1、第三章行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）解：设则中第1行的非0元为，故同法可求：∵可组成四个4元排列1234，1432，3214，3412，故中相应的非0项有4项，分别为，，其代数和即为的值，整理后得(2)解：由行列式的定义仅当分别取2，3,…,n-1,n,1时，对应项不为零，其余各项都为零习题3.23-26-3-3.2-2.证明(1)证明:(2)证明:(3)证明:按最后一行展开，得3-26-3-3=2-3．计算下列行列式（1）(2)（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来

2、的n行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。。。。最后一共经过次换行。使原行列式化为范德蒙德行列式）(3)3-26-3-∵∴（4）解：按第一列展开行列式，得（5）当时，当时，3-26-3-当时习题3.33-3-1利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵（1）3-26-3-（3），其中解：逆矩阵存在．又故3-3-2设矩阵，，求，，解：，，存在．由，所以又存在，且，故3-3-3．设为可逆矩阵，证明证明：可逆，且逆矩阵为，由于，可逆且可得另一方面，由由矩阵可逆定义知，可逆，且3-3-4．设，证明：证明：若，则3-26-3-原式得证3-3-5设方阵满足，证明及都可逆，并求解：

3、显然可逆且可逆且，即可逆，由，于是由得，，故3-3-6.用克拉姆法则解方程组（1）解：3-26-3-3-3-7．问取何值时，有非零解？解：当时，即时，有非0解即，或时，有非0解习题3.43-4-1求矩阵的秩与标准形矩阵（2）3-26-3-秩为2（3）易知，秩为4。3-4-2．答：在秩为的矩阵中，有等于零的阶子式，没有等于零的阶子式，没有不等于零的阶子式。3-4-3．证明：任何秩为的矩阵均可表示为个秩为1的矩阵之和。证：设A为m×n矩阵，且R（A）=。故A必与矩阵B等价。即m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得A=PBQ。又3-26-3-其中是m×n矩阵，仅第

4、i行第i列的元素为1，其余元素全都为0.且初等变换不改变矩阵的秩，证毕。3-4-4．证明：等价矩阵有相同的标准型矩阵。证：设为等价矩阵，则经过有限次初等行变换可换为。从而分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型，再经过有限次初等列变换可化为标准型.故等价矩阵有相同的标准型矩阵.3-4-5．解：法一：初等变换法3-26-3-法二：定义法第五章n维向量空间习题5.15-1-1.解：a-b=a+(-b)=(1,1,0)T+(0,-1,-1)T=(1,0,-1)T3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T=

5、(0,1,2)T5-1-2.解：3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)3a1+2a2+(-3+2)a=5a3+5a3a1+2a2+(-a)=5a3+5a，3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3=5a3+5a+a+(-5)a33a1+2a2+(-5)a3=6a[3a1+2a2+(-5)a3]=´6a，a1+a2+(-)a3=a将a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a=a1+a2+(-)a3中可得：a=(1,2,3,4)T.3-26-3-5-1-3.(1)V1是向量空间.由(0,0,…,0)

6、V1知V1非空.设a=(x1,x2,…,xn)V1,b=(y1,y2,…,yn)V1,则有x1+x2+…+xn=0，y1+y2+…+yn=0.因为(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn+yn)=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=0所以a+b=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)V1.对于kR，有kx1+kx2+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=0所以ka=(kx1,kx2,…,kxn)V1.因此V1是向量空间.(2)V2不是向量空间.因为取a=(1,x2,…,xn)V2,b=(1,y2,…,yn)V2,但a+b=(2,x

7、2+y2,…,xn+yn)V2.因此V2不是向量空间.习题5.25-2-1.求向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：(1)解：=因此向量b关于向量组的线性组合表达式为：.(2)解：=因此向量b关于向量组的线性组合表达式为：5-2-2．(1)解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数3-26-3-由推论2知线性相关.(2)解因为所以线性无关.(3)解因为，所以线性相关.(4)解因为，所以线性无关.5-2-3.证明：假设有常数k1,k2,k使k1b1+k2b2+k3b3=0又由于于是可得即(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3

8、a3=0因为线性无关，所以有解得3-26-3-因此向量组b1,b2,b3线性无关