高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积学案新人教b版必修2

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1、1.1.6　棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1．了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算公式(不要求记忆公式)．2．理解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式的推导过程．1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式S直棱柱侧＝______，其中c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高．S正棱锥侧＝________，其中c为正棱锥的底面周长，h′为斜高．S正棱台侧＝__________，其中c′，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h′为斜高．斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求和，也可以先作出斜棱柱的直截面(与棱柱的侧棱垂直的截面)，设其周长为c′，侧棱长

2、为l，则S斜棱柱侧＝c′l.【做一做1－1】长方体的对角线长为2，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为(　　)．A．44B．88C．64D．48【做一做1－2】已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是__________．【做一做1－3】一个正三棱台的上、下底面边长为3cm和6cm，高是cm，则三棱台的侧面积是__________．2．圆柱、圆锥、圆台的面积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝______＝______，其中l为圆柱的母线长，c为底面圆的周长，r为底面圆的半径．S圆锥侧＝______＝___

3、___，其中c，r分别为圆锥底面圆的周长与半径，l为母线长．S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l，其中c，r，c′，r′分别为圆台上、下底面圆的周长与半径，l为圆台的母线长．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式圆柱表面积：S圆柱＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．圆锥表面积：S圆锥＝____________.圆台表面积：S圆台＝____________.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，有时表面积又称为全面积．通常把几何体的侧面展成平面图形，利用平面图形来求几何体的表面积．侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般

4、地，表面积＝侧面积＋底面积．利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段．【做一做2－1】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　)．A．πB．2πC．3πD．4π【做一做2－2】如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为(　　)．A．2πB．C．D．3．球的表面积S球＝__________，其中R为球的半径．(1)球的表面积可用语言叙述为：球面面积等于它的大圆面积的四倍．(2)球面不能展开成平面图形，因此不能根据柱、锥、台的推导方法求解．(3)不要求掌

5、握其推导的过程，只要求记住公式并会应用．【做一做3－1】若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是(　　)．A．B．C．D．2πC2【做一做3－2】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．柱、锥、台的侧面积之间的区别和联系剖析：通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l，三者之间公式的相互联系可以分析出(如图)：当r1变化时，相应的图形也随之变化，当r1＝0，r2＝r时，相应的圆台就转化为圆锥，而当r1＝r2＝r时，相应的圆台就转化为圆柱，相应的

6、侧面积公式也随之变化．所以可归纳为：①圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)lS圆锥侧＝πrl.②棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间的变化关系为：S正棱柱侧＝chS正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′.一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法：因其结构特征不一致，因此应该先分别计算各侧面的面积，然后再将各侧面面积求和，即为相应的侧面积．题型一棱柱、棱锥、棱台的面积问题【例1】如图，正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求该正四棱锥的侧面积和表面积．分析：根据多面体的侧

7、面积公式，必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而根据相应的公式求解，把问题转化到三角形内加以分析求解．反思：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素，再代入面积公式求解．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算．【例2】已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．分析：利用侧面积公式求出斜高，再利用正棱台中的直角梯形求高．反思：求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起

8、求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素之间关系的桥梁．题型二圆柱、圆锥、圆台的面积问题【例3】一个直角梯形的上、下底和高的比为1∶2∶，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底