《含参量积分》word版

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1、第十六章含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：，从形式可以看出，积分变量为，积分过程结果依赖于，此时称为积分过程中的参量。显然，若将视为一个变元，记为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是

2、本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。§1含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设在，此时是为关于的一元连续函数，因而可积。考虑其积分，显然其与有关，记为，更一般，引入，称其为含参变量的积分。注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新

3、方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。551定理1：（连续性）设，则。分析：在不能利用连续函数的性质得到连续性的情况下，需利用定义证明函数的连续性，这是处理这类问题的一般方法。证明：任取，取，使，只须证：。事实上，由于：（要使，只须充分小，形式上看：只须利用在点的连续性，但实际不仅如此，更要用到一致连续性。因为，仅仅利用在点或（x,）的连续性，对任意的，得到的不仅与有关，还与有关，因而，不能保证在整

4、个积分区间[a,b]上都有；同时，在证明点的连续性时，只允许。）由于，因而，f(x,y)在D上一致连续，故，对任意的>0，存在，使得当时，成立，因而，当时，成立，551故，所以，在点的连续性，由的任意性得，。注：结论表明：极限和积分运算可以换序：。定理2：（可微性）设，，则且，即微分与积分运算可以换序。分析：证明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定义验证即可。证明：任取，及，使，由中值定理，，其中，。由定理1，则。更进一步讨论变限的含参量积分，记。定理3：若，，且551，则。证明：任取，取，使，由于。由于，因而有界，不

5、妨设，又且类似定理1的证明得，对任意，存在，当时成立，，，因而，。故，。定理4：设，且，则，且：。证明：，利用中值定理，存在551()使得。.定理得证。上面讨论了含参量积分的连续性和可微性，从运算角度看，这些性质给出了两种运算间的可换序性，在相关的运算中有非常重要的作用（见后面的例子）。下面的结论表明了含参量积分的积分运算的可换序性。由此给出积分计算的一种新方法，为此，考虑由一个二元函数给出的两个含参量积分的形式，事实上，设，则可引入两个含参量积分：，显然：，因而可积，考虑二者的积分。551分析这两个积分：被积函数都是，积

6、分顺序不同，因而是函数在区域D上的两个不同顺序的积分，也是后面多重积分理论中的累次积分。自然要考虑这样的问题：二者是否相等，即：累次积分是否可换序。定理5：（积分换序性），设，则。即两个累次积分可以换序。分析：采用一种特殊的方法：将其转化为证明两个函数相等，这是一个新的思想，要求掌握。证明：记，，下证：，特别有，为此，先证：。由于，故：。同样，对，记，则，故：，因而。所以，。551令，得。因此：，，特别：。应用：重点讨论在积分计算中的应用。例1：设，计算解：由公式：。例2：计算分析：两种运算是否可换序：含参量积分的连续性定

7、理。解：记，则，因而：，故，。注：这类题目通常要求确定参量的活动区间，技巧是，在极限点附近取充分小的区间，满足定理要求的条件即可。例3：计算。解：令，则，因而：551。例4：计算分析：通过例子熟悉含参量积分在积分计算中的运用。解：取，记，则在上连续。故：利用万能公式，因而，求积分得，551又，则，故。注：利用含参量积分的求导理论计算定积分，从计算思想上看和分部积分法相同，即通过求导，改变被积函数的结构，使之简单化，便于计算；但是，与分部积分的求导对象不同，因而，是采用了不同的求导方式来改变积分结果，因此，这两种方法在处理复

8、杂类型的定积分时都是有效的方法。如本例用分部积分法将积分转变为下述积分计算，，而后者可以利用定积分公式来计算。但对有些例子来说，能用含参量积分的求导理论来计算的，不一定能用定积分理论的分部积分法来计算。例4：计算分析：此类题目较难：难在其一：看似是一个正常的定积分，但利用定积分的计算技术（常规）无法解决