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1、第十九章含参量积分§1含参量正常积分连续性定理可微性定理可积性定理例题上的连续函数,则积分确定了一个定义在[a,b]上的函数,记作x称为参变量,上式称为含参变量的积分.⑴一般地，设f(x,y)为区域上的二元函数,c(x),d(x)在[a,b]连续，定义含参量的积分下面讨论含参量积分的连续性、可微性和可积性.定理19.1(连续性)上连续,则函数在[a,b]上连续.若在矩形区域分析对任何x∈[a,b],要证：连续性定理就有即(积分号下取极限)证设x,x+Δx∈[a,b],在闭区域R上连续,所以一致连续,由于即只要就有就有这说明所以，同
2、理可证,续,则含参变量的积分定理19.1表明,即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序是可交换的，或说可在积分号下取极限.若上连续,则在矩形区域在[a,b]上连续.定理19.2（连续性）如果函数在区域上连续，又函数与在区间上连续，则函数在[a,b]上连续.证对积分用换元积分法，令于是从而因为在矩形[a,b]×[0,1]上连续，由定理19.1得在[a,b]上连续例1求解记因为都是的连续函数所以在连续，从而定理19.3(可微性)都在可微性定理（积分号下求导数)分析:要证：即使得当时，有对任意的由拉格朗日中值定理，存在使得证:所以因此
3、从而一致连续，即只要，有因此故I(x)在x可导，且由x的任意性，及定理19.1知I(x)在[a,b]有连续的导函数.在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数例2.解:考虑含参变量t的积分所确定的函数显然,于是由定理19.3故因此得定理19.4（可微性）如果函数在矩形上连续，在[a,b]上可微，且证:把F(x)看作复合函数：由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有例.解:例.验证当
4、x
5、充分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理19.4可得即同理当x=0时，有定理19.5(
6、可积性)上连续,则函数在[a,b]上可积.若在矩形区域在[c,d]上可积.可积性定理记统称为累次积分或二次积分.问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有定理19.6上连续,则若在矩形区域证记其中（积分交换顺序）于是所以从而(k为常数)当u=a时，于是，k=0即得取u=b,就得例4.解:由被积函数的特点想到积分:内容小结上连续,则函数在[a,b]上连续、可积.若在矩形区域在[c,d]上连续、可积.且上连续,则函数在[a,b]上可微，且.若在矩形区域在[c,d]上可微，且.上连续,则函数若在矩形区域
