向量组的线性相关性与矩阵的秩

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1、第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置、时间t以及三个速度分量，这七个量组成的有序数组称为七维向量。更一般地，本章将引入n维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。§1n维向量作为二维向量、三维向量的

2、推广，现给出n维向量的定义定义1n个数组成的有序数组（），称为n维向量。数称为向量的第i个分量（或第i个分量）。向量通常用希腊字母等来表示。向量常写为一行=（）有时为了运算方便，又可以写为一列前者称为行向量，后者称为列向量。行向量、列向量都表示同一个n维向量。设都是n维向量，当且仅当它们各个对应的分量相等，即时，称向量与向量相等，记作，。分量全为零的向量称为零向量，记为0，即0=若，则称为的负向量，记为。下面讨论n维向量的运算。定义2设都是n维向量，那么向量叫做向量与的和向量，记做，即79向量与的差向量可以定义为+，

3、即定义3设是n维向量，是一个数，那么向量叫做数与向量的数量乘积（简称数乘），记为，即向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算满足下列运算规律性质1设都是n维向量，是常数，则（1）（2）（3）+0=（4）0（5）（6）（7）（8）n维行向量也可以看成1行n列的矩阵，n维列向量可以看成n行1列的矩阵。n维向量的线性运算与矩阵的运算是基本一致的。§2线性相关与线性无关这一节，我们将进一步研究n维向量之间的线性关系。其中向量组的线性相关与线性无关是非常重要的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。定义1已

4、知n维行（列）向量组，如果存在不全为零的一组数，使0（2.1）则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关。例如，n维行向量组，若有一组数79，使(2.1)式成立，即则显然必有，从而向量组线性无关。而对向量组，不难验证0，所以它是线性相关的。定义2对于n维行（列）向量，如果存在一组数，使=则称向量是向量组的一个线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（或线性表出）。定理1向量组（m2）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示。证必要性。设线性相关，则存在m个不全为零的数，使=0不妨设0，于是

5、故可以由线性表示充分性。不妨设可以由线性表示，即则有一组不全为零的数，使=0所以向量组是线性相关的。证毕。定理2设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示法是唯一的。79证假设线性相关，则存在一组不全为零的数，使得0若=0，则不全为零，且0这与线性无关相矛盾。因此0，故（）即可以由向量线性表示。再证唯一性。设有下列任意两个线性表示式=两式相减得=0由于线性无关，所以必有即所以由线性表示的表示方法是唯一的。性质1在向量组中，若有部分向量构成的向量组线性相关，则全体向量组也线性相关；反之，若全体向量组线性无关，则任意

6、部分向量组也线性无关。证不妨设线性相关，那么存在不全为零的数，使得=0从而=0因为不全为零，所以，0，…，0不全为零。故全体向量组79也线性相关。剩下的结论用反证法立即可知。推论1含有零向量的向量组必线性相关。例1设n维向量=，其中第i个分量为1，其余分量为0，为任一n维向量，则可以由线性表示。证因为故可以由线性表示。例2两个向量线性相关的充要条件是或，即与的分量对应成比例。证由定理1可知，与线性相关的充要条件是：可以由线性表示或可以由线性表示，所以两个向量与线性相关的充要条件是或，即与的分量对应成比例。例3设线性无

7、关，证明也线性无关证设有一组数，使=0（2.2）即=0因为线性无关，所以这是三个方程三个未知数的齐次线性方程组，它的系数行列式D=79所以由克莱姆法则可知，此方程组只有零解，即这表明只有当全为零时，（2.2）式才成立，即也线性无关。§3向量组的秩与等价向量组又上节的性质1可知：若向量组线性无关，则任意部分向量均线性无关。若向量组线性相关，那么是否能找到向量个数最多的线性无关向量组？为了研究这些问题，我们需要引进极大线性无关组的概念和向量组的秩的概念。一．极大线性无关组定义1设向量组A，如果：（1）A中有r个向量线性无

8、关；（2）A中任一向量都可以由线性表示。则称是向量组A的一个极大线性无关组（或极大无关组）。例1全体n维实向量构成的向量组记作，求的一个极大线性无关组。解我们知道，（参照本章§2例1）线性无关，又任一向量都可表示为所以，是的极大线性无关组。例2试在向量组中找出它的一个极大线性无关组。解与的对应分量不成比例，所以，线性无关。又因为，故线性相关，所