高等数学论文-高等数学基础概念—极限

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1、印刷工程系15级包装2班150703217卢慧高等数学基础概念——极限学院：印刷工程系专业：包装技术与设计班级：15包装2班姓名：卢慧学号：150703217第6页共6页印刷工程系15级包装2班150703217卢慧一、摘要高等数学极限理论是高等数学教学环节中的重要内容，是学习高等数学、线性代数以及复变函数等大学数学科目的基础科目，极限概念是微积分中最基本的概念，极限思想是数学中极为重要的思想。下面主要介绍了高等数学中的数列与函数极限的概念、运算法则以及求解方法进行简析。文章最后，介绍了数学极限思想的发展

2、简史，并对其日后的发展趋势进行展望。二、关键词高等数学，数列极限，函数极限，运算法则三、正文(一)极限的概念极限概念是由某些实际问题的精确破解而产生的，是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的一个概念。比如物理中的瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限

3、的思想呼之欲出在数学领域中“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的。粗略地讲，在高等数学中，极限一直是一个重要内容，并以各种形式出现而贯穿全部内容。第6页共6页印刷工程系15级包装2班150703217卢慧（二）数列极限首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到307

4、2=6*2的9次方边形，利用不等式An+10，总存在正整数N，使得当n>N时，

5、xn-a

6、<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。（三）函数极限的通俗定义1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作limf(x)＝A，x→+∞。2、设

7、函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A，x→a。※函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就是a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.2:如果当x从点x=x0的右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就是说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x

8、0+limf(x)=a.（四）极限的运算规则（或称有关公式）lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)第6页共6页印刷工程系15级包装2班150703217卢慧lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)不等于0)lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)都存在时才成立lim(1+1/x)^x=ex→∞

9、lim(1+1/x)^x=ex→0（五）两个重要极限1、limsin(x)／x＝1，x→02、lim（1+1／x）^x＝e，x→0（e≈2.7182818...，无理数）（六）极限求解的方法1.迫敛性求解求解的要点是，当极限不容易直接求出解的时候，就可以考虑将求解极限的变量做适当的放大或者缩小，使得放大、缩小所得的自变量易于求解极限，且二者的极限值相同，即原极限存在且等于此公共值。2.洛必达法则∞/∞型不定式极限常用的方式就是洛必达法则，有时还需要利用推广的洛必达法则进行求解。即将x→a换成x→a+0或x

10、→a-0也可以适应洛必达法则。应用洛必达法则的时候应注意一下几点：要验证应用洛必达法则的条件应对极限进行分析确定其类型，然后才能继续使用洛必达法则，主要符合这个条件就可以利用法则求解极限；另外，其他类型的不定式也可以求解极限。第6页共6页印刷工程系15级包装2班150703217卢慧3.极限内涵和判断准则极限的内涵可以利用公式进行描述，即ε>0;

11、an-a

12、<ε,以此来描述数列{an}在变化的过程中所定义的是a近似的程度。即在