高等数学_极限的概念.ppt

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1、二、函数的极限一、数列的极限第二节极限的概念第二章一、数列的极限1.数列极限的定义(1)数列：简记作称为通项(一般项).数列也称为整标函数.自变量取正整数的函数,例如,例如,有界无界有界性单调增加单调减少单调数列单调性设有数列如果当n无限增大时,xn无限趋近于某个确定的常数a,的极限,这时,也称数列{xn}收敛于a.否则,称数列{xn}发散.则称a为数列{xn}记作(2)数列极限的定义定义2.2例如,趋势不定收敛发散“无限增大”，“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它？a接近b的程度用绝对值：表示.问题:定义2.3若数列及常数a有下列关系:当n>

2、N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.或则称该数列{xn}的极限为a,3°N由所确定，故记但不唯一.4°不能与n有关.5°数列极限的定义未给出求极限的方法.注一般来说，ε越小，N越大;(3)几何解释时，恒有注例1已知证明数列的极限为1.证要使即只要因此,取则当时,就有故N是正整数,所以要取整证所以结论:常数列的极限等于同一常数.例2证(1)(2)要使即只要例3例4证分析N不唯一,证明时可以适当放大故得证.也可由取注将适当放大的目的，是为了易于求N.放大时，应该注意适当！小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定>0,寻找N,但不必求最小的N.

3、证明：证要使只要即则当n>N时，有从而例5思考:对于例5,下列推导是否正确：要使只要故取……N不能与n有关！子数列例如，(4)数列极限的性质定理1以下三个命题等价有一子列发散的数列必发散或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例定理2收敛的数列必定有界.证由定义,注意有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.收敛有界自变量的变化过程有六种形式:二、函数的极限1.x时函数f(x)的极限(1)定义2.3设函数当(M为某一正数）时有定义,如果存在常数A,当时,有则称常数A为函数当时的极限,记作当时,有(2)几何解释注当时,有当时,有1°时函数f(x

4、)的极限：定理2°或则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线.如果例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，再如，都有水平渐近线例6证明证取因此注就有故欲使即2.xx0时函数f(x)的极限(1)时函数极限的定义定义2.4设函数在点的某去心邻域则称常数A为函数当时的极限,或当时,总有内有定义.如果有常数A,记作几何解释:注xO1例7证明证故取当时,必有因此证只要例8左极限:有极限存在的充要条件:(2)单侧极限当时,右例9设函数讨论时的极限是否存在.解因为所以不存在.内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.函数极限的或定义及应用思考与练习1.若极限存在

5、,2.设函数且存在,则是否一定有3.左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件故时,例4-1已知证明证要使只要即取则当N不唯一,证明时可以适当放大也可由取有例5-1证注意到为了使于是a=因此,则当n>N时,有只要使证例5-2证例6-1例6-2证例8证分析例9-1证明证要使取则当时,必有因此只要例10-1证由不等式可得已知即于是证明了左右极限存在，但不相等,证例11-1例11-2解的左极限及右极限，并说明函数在点x=1处的极限存在与否.故函数在点x=1处的极限存在，且例7证明证故对任意的当时,因此总有