三元域上2×2和3×3阶对称矩阵空间保行列式的映射

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第27卷第5期沈阳工业大学学报V01．27No．52005年10月JournalofShenyangUniversityofTechnologyOct．2005文章编号：1000—1646(2oo5)o5—0593—03三元域上2×2和3×3阶对称矩阵空间保行列式的映射杨雅琴(齐齐哈尔大学数学系，黑龙江齐齐哈尔161006)摘要：讨论了是非线性保持问题．设F是fFl_3的域，S(F)是F上n×n对称矩阵空间．设是从S(F)到自身的映射(可能是非线性的)，如果对于所有的A，B∈S(F

2、)和∈F都有det(A+曰)=det((A)+肺(曰))，则称是S(F)上的保行列式的映射．刻画了n=2，3时S(F)上的保行列式的映射形式．这解决了保行列式问题中的一个未解决的问题．从而推广了其相应结论．关键词：线性保持问题；秩；对称矩阵；三元域；行列式中图分类号：O151．21文献标识码：ADeterminantpreservingmapson2×2and3×3symmetricmatrixspacesYANGYa—qin(DepartmentofMathematics，QiqiharUniversity，Qiqihar16

3、1006，China)Abstract：Thispaperfocusesonnon—linearpreservingproblems．LetFbeafieldwithIFI=3，andS(F)bethevectorspaceofn×nsymmetricmatricesoverF．Letbeamap(maybenon-linear)fromSn(F)toitself．Ifdet(A+)=det(~(A)+(B))holdsforallA，B∈S(F)and∈F，thenwecallthatisapreserverofdetermi

4、nantonSn(F)．TheformofallmapsonSn(F)thatpreservedeterminantwerecharacterized．Thishassolvedaproblemwhichisopeninlinearpreservingproblemsinvestigation，andthenitextendsthecorrespondingresuIIts．Keywords：Hnearpreservingproblem；rank；symmetricmatrix；fieldofthreeelements；dete

5、rminant线性保持问题是矩阵论中的热门课题nq]，的逆矩阵．其中保行列式问题首先是Fmbenius⋯1提出来的．定义对于任意秩为1的矩阵A，映射都近年来，许多专家学者更深入地研究了此问有rank((A))=1，则称是保秩1的．题-2】，并将之推广到非线性映射的形式．本文解引理l[]若是从S(F)到S(F)满足det决了文献[2]中所提出的一些问题．刻画了IFI(A)=det((A))的线性映射，其中A∈S(F)．=3的域F上，n=2，3时满足det(A+入)=则是单射．det((A)+(B))的映射，其中A，∈S(F)，引理

6、2[]若F是IFI>2且chF≠2的域，∈F．是从S(F)到Sn(F)满足det(A)=det((A))设IFI=3，F中元素用一I，0，I表示．F=的线性映射，其中A∈S(F)，∈F．则是保秩F＼{0}．F表示F上3维列向量空间．(F)1的．表示n×n全矩阵空间的一般线性群．Ef袁示(i，定理1设IFI=3，是从S2(F)到S2(F)．『)元是I，其它元是0的矩阵．，n表示n阶单位满足det(A+)=det((A)+(B))的映射，阵．A表示矩阵A的转置矩阵．AI1表示矩阵A其中A，∈S2(F)，∈F当且仅当存在P∈收稿日期：

7、2005—01—04作者简介：杨雅琴(1971一)，女，黑龙江齐齐哈尔人，讲师，硕士生维普资讯http://www.cqvip.com594沈阳工业大学学报第27卷GL2(F)，使≯(Ef1)=口，≯()=a，∈2(F)，I．L∈F＼{0}，a∈F，i=1，2，3．口∈F，且J口PJ=1，假设l，2，／13线性相关．证明充分性显然成立，下面证必要性．当秩{I．Ll，I．L2，I．L3}=1时，不失一般性，不妨因≯满足det(A+曰)=det(≯(A)+假设I．L2，I．L3都可由I．Ll线性表示，≯(B))，其中A，B∈2(F)

8、，∈F，由引理2知≯设一=l，Ii}『∈F，_『=2，3，是线性映射，再根据引理1知≯是双射且保秩1．则得≯()=Ii}l1，_『=2，3．则存在P∈GL2(F)，使与det(≯(I))=l矛盾．≯(El1)=aPEllP’，a∈F．当秩{l，，3}=2时，不妨