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1、第!!卷第"#期数学的实践与认识3456!!-46"#$##!年"#月%&’()%&’*+,*-./&+’*+)&-0’()1/21:;4<=$##!777777777777777777777777777777777777777777777777777777778988888988教学园地8898888889数学软件>?@ABC?@DE?的应用FF数学实验一例张小红G宁波大学理学院=浙江宁波!"H$""I西北工业大学计算机科学与工程系=陕西西安J"##J$K摘要L本文介绍作者编写的几个用于研究有限代数系统的%M;NOPM;Q:M程序=它是数学实验的极好素材<关键词
2、L数学实验I%M;NOPM;Q:MI代数系统在有限代数系统的研究中=找出在同构意义下的所有成员是一个非常基本而重要的问题=这对研究代数系统的结构帮助很大I同时=很多情况下需要找到满足某种条件的反例<然而=代数系统中的运算律G比如结合律K手工验证很困难=为了解决上述问题我们借助了数学软件G比如%M;NOPM;Q:MK=收到较好效果<例如=在THUVTWU中=我们借助数学软件%M;NOPM;Q:M构造了两个重要反例=分别说明了在X++Y代数中不能照搬X+*Y代数的理想概念V在XZY代数中拟结合性与拟单位性不等价<正巧=最近为大学生讲授[数学实验课=现有教材中很少有借
3、助数学软件研究代数问题的例子<因此=为了丰富数学实验素材=我们把自己使用过的程序进行了修改=以群V半群等基本代数系统为对象重新做了调试=得到预期结果<今将它们发表出来=供大家参考<]用>?@ABC?@DE?验证结合律已知在集合^_‘"=$=!=ab上定义了c运算G’Md5O"K=ef=gh是否构成半群i若按’Md5O$规定其c运算=ef=gh是否构成半群i’Md5O]’Md5Ojg"$!ag"$!a""$!a""$!a$$$aa$$$!a!!$!a!!$!aaa$aaaa$aa程序"Lkl_‘‘"=$=!=ab=‘$=$=a=ab=‘!=$=!=ab=‘a=$=a
4、=abbI收稿日期L$##$R#"R$S*#期张小红<数学软件Y>8:;Z>8)[>的应用‘‘数学实验一例*UU!"#$%&’()"*+),-+)..+%&’(/"*+/,-+/..+%&’(0"*+0,-+0..+12(3!((3!(()+/44+0445"3!(()+3!((/+04444+!..4444$12(!""#+6’)78(9’)3:894+6’)78(9;’’&’944上述程序运行结果为<’)3:8+这说明=>?@;*中的运算A满足结合律+此时+BC+DE构成半群F使用同样的方法可知<按=>?@;G中的运算A+BH+DE不构成半群FI用JKLMNO
5、KLPQK找出所有R阶群假定用*表示单位元S即运算表的第*行T第*列均必为*TGTUV+由于群中元素的逆元唯一+因此在运算表中要么G行G列TU行U列元素为*S情况WV+要么G行U列TU行G列元素为*S情况XVF对于情况X+可编写如下程序+得到的一个U阶群F对于情况W+可编写类似程序+运行后得不到任何结果+从而说明U阶群只有一个+用Y>8:;Z>8)[>的二重表表示为=>?@;U"\*+G+U]+G+U+*]+U+*+G]]F程序G<3!"\*+G+U]+G+#+*]+U+*+#]]$%&’()"G+),^+)..+%&’(/"G+/,^+/..+3!(
6、(G+G44")$3!((U+U44"/$!"#$%&’(0*"*+0*,^+0*..+%&’(0G"*+0G,^+0G..+%&’(0U"*+0U,^+0U..+12(3!((3!((0*+0G44+0U445"3!((0*+3!((0G+0U4444+!..4444$12(!""#+6’)78(9’)3:894$6’)78(3!4444上述程序运行结果为<’)3:8\*+G+U]+G+U+*]+U+*+G]]R用JKLMNOKLPQK找出所有_阶群编程思想与U阶群类似+这里主要考虑消去律即每行每列没有重复的元素+从而每行每列必有元素*S即单位元V+于是每
7、个元素必有逆元F注意+这里在验证消去律时+与后面的程序-使用了不同的方法F程序U<3!"\*+G+U+^]+G+#+#+#]+U+#+#+#]+^+#+#+#]]$%&’()*"*+)*,-+)*..+%&’()G"*+)G,-+)G..+(&-数学的实践与认识&&卷!"#$%&’()%&*+)%&,,)!"#$%-’()%-*+)%-,,)!"#$%+’()%+*+)%+,,)!"#$%.’()%.*+)%.,,)!"#$%/’()%/*+)%/,,)!"#$%0’()%0*+)%0,,)!"#$%1’()%1*+)%1,,)23$%(4’%566%(4
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