第48届imo预选题(四)

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1、18中等数学r{竞—赛”—之窗—1l．．、．，．，．、．．一第48届IM0预选题(四)李建泉译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所，300387){1，2，⋯，n}中的数被染成红色或蓝色，并满组合部分足下列条件：集合S×S×S恰包含2007个1．已知凡是大于l的整数．求满足下列有序三元数组(，Y，)，使得条件的所有数列口，0，⋯，口．(1)、Y、。同色；(2)+Y+z可以被n整除．·(1)a∈{0，1}，对于所有满足1≤≤4．设A。=(a。，a：，⋯，n)是实数数列．／I,+n的成立；(2)a+l+a+2+⋯+a+对于每个非负整数k，由数列A=(，戈，

2、1+r上￡+n+2+⋯+ai+2n，⋯，)来构造一个新的数列A⋯满足下列对于所有满足0≤≤n一n的成立．条件：2．将一个单位正方形分割成n(n>1)个(1)选择{l，2，⋯，n}的一个分割八jI，，矩形，每个矩形的边与单位正方形的边平行．满足，nJ：，，UJ={1，2，⋯，17,}，表达式任意一条与单位正方形的边平行，且过正方l∑一∑l取得最小值(允许，或J是形内部的点的直线也过某个矩形内部的点．iE／jC-J证明：存在一个矩形，其内部及边界上的点都空集，这种情况的和为0)，如果有多于一个不是单位正方形边界上的点．这样的分割，任意选其中的一个；3．求所有的正整数ll,，使得

3、集合S=(2)设数列A=(Y。，Y：，⋯，Y)，其中，个砝码称量重为W(1≤W≤+一1一+。的n个砝码，任意去掉两个，仍能称出重为=一1<+一1)的物体，这样可以由归纳w(1≤W≤g(n+1)一1)的物体，而g(13)=假设得证．60．综上，由归纳法知结论成立．所以，重量范围为1≤≤59的物体是取n=10，FI=F2=1，F3=2，可以找到满足题意的12个砝码来称量出的．F4=3，F5=5，F6=8，F7=13，这几道题的解答过程几乎都是先枚举尝F8=21，F9=34，Flo=55．试，发现规律为斐波那契数列后，再进行归纳证明，这反映了“探索——猜想——证明”的其中任意去掉

4、一个，仍可以称量重为解题步骤．(1≤≤Fll一1：89—1=88)的物体．参考文献：对于(2)，可以构造广义斐波那契数列：[1]武炳杰．从无穷递降法到递推数列[j]．中等数学，g(／7,)=g(n一1)+g(n一3)(ni>4)，2008(5)．g(1)=g(2)=g(3)=1．[2]吴振奎．斐波那契数列[M]．沈阳：辽宁教育Ⅲ版社，19g7用与(1)类似的方法，可以说明对于这样2008年第l1期19若∈，，贝Uy=+1，若i∈．，，贝4Yi=一1．特别地，若=z，则5(，Z]=0．证明：存在整数，使得数列A中包含于是，条件(2)可改写为对于任意满足0≤i≤一凡的i，有一项

5、，满足Il≥昙．S(i，i+n]

6、正实数<下3-45特另0地，s(o，凡]=0，S(n，n+]=凡．．证明：存在正整从而，0l=02：⋯=口=0，数n、P(P>口·2)，使得在集合{1，2，⋯，n}口，=口，：⋯=口，：1．n。+ln。+2n‘+n中可以选取2p个两两不同的子集将数列{0}分成n+1个部分，每部分中sl，52，⋯，sP，l，，⋯，，包含{口i}的连续的n项，并记它们为第0部满足对于任意的1≤i、≤p，有5n≠。分到第部分．8．已知P为平面上的一个凸边形，考下面证明：第部分为(O，0，⋯，0，1，1，⋯，1)．虑以尸的顶点为顶点的三角形．若所有的边—-一都是单位长，则称这样的三角形为“好的”．

7、证当=0时，结论成立．假设一1时，结论成立．明：好的三角形的数目不超过．对于>0时，第部分包含tJ个1．设第一个1在第个位置，即吼+=1．由归纳假参考答案设可知第一1部分和第部分为1．这样的数列是唯一的．长摩舟和(0，⋯，0，⋯，0，1，⋯，1)(0，⋯，0，l，*，⋯，*)，对于所有的1≤M≤，0≤≤几，■f0，+≤n；其中，*为0或1．口H+m=1L1，+≥+1，又第部分的和为，则≤n一+l，即可以写成长度为n的+1个部分：且有s(u+(∞一1)n，u+饥]="／3．于是，(0，0，⋯，0)(0,0，⋯，0，1